Coursera离散数学概论笔记（二）：数理逻辑之命题逻辑及形式系统

真值表法：要证明 $A \models\hspace{-5pt}|~ B$ ， $A \models B$ ，只要分别列出 $A \leftrightarrow B$ 和 $A \rightarrow B$ 的真值表，最后一列全为真即可。
讨论赋值法：要证明 $A \models B$ ，只要证明 $A$ 的任意一个成真赋值都是 $A$ 的成真赋值，或者 $B$ 的任意一个成假赋值都是 $A$ 的成假赋值。如果证明了 $A \models B$ 和 $A \models B$ ，那么就证明了 $A \models\hspace{-5pt}|~ B$ 。
推演法：利用已知的重言式、逻辑等价式、逻辑蕴涵式，采用代入原理和替换原理进行推演。

4.2 讨论赋值法的例子

4.3 推演法例子

例子1：

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例子2：

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5 范式及基本术语

5.1 概念及基本术语

范式：在命题公式的多个逻辑等价的形式中，较为符合“标准”或“规范”的一种形式。

范式有一些基本的术语：

文字：命题常元、命题变元和它们的否定，两个命题常元和命题变元称为正文字，它们的否定称为负文字。
析取子句：文字或者若干文字的析取，如： $p$ ， $p \bigvee q$ ， $¬p \bigvee q$ 。
合取子句：文字或者若干文字的合取，如： $p$ ， $p \bigwedge q$ ， $¬p \bigwedge q$ 。
互补文字对：指一对正文字合负文字，如： $p$ 和 $¬p$ 。

5.2 析取范式（disjunctive normal form）

如果：

$A$ ' $\models\hspace{-5pt}|~ A$
$A$ ' 为合取子句或者若干合取子句的析取

则公式 $A$ ' 称作公式 $A$ 的析取范式。

例如：

$p \rightarrow q$ 的析取范式为： $¬p \bigvee q$ （视为合取子句的析取）

$((p \rightarrow q) \bigwedge ¬p) \bigvee ¬q$ 的析取范式为： $¬p \bigvee (q \bigwedge ¬p) \bigvee ¬q$

5.3 合取范式（conjunctive normal form）

如果：

$A$ ' $\models\hspace{-5pt}|~ A$
$A$ ' 为析取子句或者若干析取子句的合取

则公式 $A$ ' 称作公式 $A$ 的合取范式。

例如：

$p \rightarrow q$ 的合取范式为： $¬p \bigvee q$ （视为当个析取子句，联系吸收律）

$((p \rightarrow q) \bigwedge ¬p) \bigvee ¬q$ 的合取范式为： $(¬p \bigvee t) \bigwedge (¬p \bigvee ¬q)$ 或 $¬p \bigvee ¬q$

6 求范式的一般步骤

6.1 求命题公式的范式

利用逻辑等价式和代入定理、替换定理，可以求出任一一个公式的析取范式和合取范式。

举一个例子：

6.2 范式用于重言式和矛盾式的识别

重言式识别：合取范式中每个析取子句都包含了至少一个互补文字对： $(p \bigvee ¬p \bigvee q) \bigwedge (p \bigvee q \bigvee ¬q)$

矛盾式识别：析取范式中每个合取子句都包含了至少一个互补文字对： $(p \bigwedge ¬p \bigwedge q) \bigvee (p \bigwedge q \bigwedge ¬q)$

6.3 一般步骤

消去公式中的联结词 $\rightarrow$ 和 $\leftrightarrow$ 。可以利用蕴涵等值式和等价等值式。
利用德摩根律将否定联结词 ¬ 向内深入，最后只作用于文字，再将 $¬¬p$ 化为 $p$ 。
利用分配律，最后得到需要的析取或合取范式。

6.4 范式的唯一性问题

一个公式的析取范式或合取范式都不是唯一的，比如：

公式的析取范式有可能同时也是合取范式，比如：

能否找到“最为规范”，即具备唯一性的范式？这将在下一节进行讨论。

7 主范式

7.1 定义

如果：

$A$ ' 是 $A$ 的析取范式
$A$ ' 中每一个合取子句里每一个命题变元均恰出现一次（不能多于一次，也不能不出现）

则公式 $A$ ' 称作公式 $A$ 的主析取范式（major disjunctive form）。

如果：

$A$ ' 是 $A$ 的合取范式
$A$ ' 中每一个析取子句里每一个命题变元均恰出现一次（不能多于一次，也不能不出现）

则公式 $A$ ' 称作公式 $A$ 的主合取范式（major conjunctive form）。

7.2 存在性和唯一性证明

此处证明太过繁琐，故直接附上截图：

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8 联结词集完备性

8.1 真值函数

每一个等值类都对应唯一的真值函数 $F(p_1, p_2, ...p_n)$ ，其每个变元的定义域是{0，1}，值域也是{0，1}。

真值函数与相应等值类中的每个命题等值（包括主析取范式和主合取范式）。

8.2 功能完备集

如果任意一个真值函数都可以仅用某个联结词集中的联结词的命题公式表示，则称这个联结词集为功能完备集。

举几个功能完备集的例子：

$\{¬, \bigwedge, \bigvee, \rightarrow, \leftrightarrow\}$
$\{¬, \bigwedge, \bigvee \}$
$\{¬, \rightarrow \}$
$\{¬, \bigwedge \}$
$\{¬, \bigvee \}$

8.3 冗余联结词和极小集

在一个联结词集中，如果某个联结词可以用集合中的其他联结词来定义，则这个联结词称作冗余联结词。

例如在 $\{¬, \bigwedge, \bigvee, \rightarrow, \leftrightarrow\}$ 中就存在冗余联结词。

如果一个功能完备集中不含冗余联结词，则称这个功能完备集为极小集。

例如 $\{¬, \rightarrow \}$ ， $\{¬, \bigwedge \}$ ， $\{¬, \bigvee \}$ 都是极小集。

8.4 仅包含单个联结词的功能完备集

定义联结词 $\downarrow$ （Peirce记号）， $p \downarrow q \models\hspace{-5pt}|~ ¬(p \bigvee q)$ 。

则 $\{ \downarrow \}$ 是功能完备集。证明如下：

8.5 证明

8.5.1 功能完备集的证明

从一个已知的功能完备集中去掉冗余联结词，即用其他联结词来定义（或者说的表示）它，直到得到最终要证明的联结词集。

8.5.2 非功能完备集的证明

非功能完备集并没有统一的证明方法，不能仅偶用重言式、逻辑等价式和代入、替换原理推演证明。

下面举两个例子：

9 形式系统和证明、演绎

9.1 形式系统

形式系统是一个符号体系，系统中的概念由符号表示，推理过程即是符号变换的过程。有以下要点：

以若干最基本的重言式作为基础，称作公理（axioms）。
系统内符号变换的依据是若干确保由重言式导出重言式的规则，称作推理规则（rules of inference）。
公理和推理规则确保系统内由正确的前提总能得到正确的推理结果。

9.2 证明（Proof）

如果 $A_i(1 \leq i \leq m)$ :

或者是公理；
或者由 $A_{j1}, A_{j2}, ..., A_{jk} （j1, ..., jk < i)$ 用推理规则推得。

公式序列 $A_1, A_2, ..., A_m$ 称作 $A_m$ 的一个证明。

当这样的证明存在时，称 $A_m$ 为系统的定理（theorem），记作 $\vdash * A_m$ （ $*$ 是形式系统的名称），或者简记为 $\vdash A_m$ 。

9.3 演绎（Deduction）

设 $\Gamma$ 为一公式集合，如果 $A_i(1 \leq i \leq m)$ :

或者是 $\Gamma$ 中的公式；
或者是公理；
或者由 $A_{j1}, A_{j2}, ..., A_{jk} （j1, ..., jk < i)$ 用推理规则推得。

公式序列 $A_1, A_2, ..., A_m$ 称作 $A_m$ 的以 $\Gamma$ 为前提的演绎。

当这样的证明存在时，称 $A_m$ 为 $\Gamma$ 的演绎结果，记作 $\Gamma \vdash * A_m$ （ $*$ 是形式系统的名称），或简记为 $\Gamma \vdash A_m$ 。

证明是演绎在 $\Gamma$ 为空集时的特例。

10 命题演算形式系统（Proposition Calculus）

10.1 PC的定义

我们将命题以及重言式变换演算构造为形式系统，称为命题演算形式系统。

其符号系统由以下几个要素构成：

命题变元： $p, q, r, s$
命题常元： $t, f$
联结词：¬, $\rightarrow$ （必须是功能完备集）
括号：” $($ “，” $)$ “
命题公式（高级成分，规定了字符的合法组合方式），其定义为：
- 命题变元和命题常元是公式
- 如果 $A$ ， $B$ 是公式，则 $(¬A)$ ， $(¬B)$ 均为公式
- 只有有限次使用上面两条规则得到的符号串才是命题公式

其公理有（ $A, B, C$ 表示任意公式）：
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其推理规则为（ $A, B$ 表示任意公式）：

$A, A \rightarrow B / B$ (分离规则，即表示由 $A, A \rightarrow B$ 成立可以推导得到 $B$ 成立)

10.2 PC的性质

合理性（Soundness）：
- 如果公式 $A$ 是PC的定理，则 $A$ 是重言式（如果 $\vdash _{PC} A$ ，则 $\models A$ ）
- 如果 $A$ 是公式集合 $\Gamma$ 的演绎结果，那么 $A$ 是 $\Gamma$ 的逻辑结果（如果 $\Gamma \vdash _{PC} A$ ，则 $\Gamma \models A $）
- 说明了PC中的定理和演绎结果都合乎逻辑
一致性（Consistency）：没有公式 $A$ ，使得 $\vdash _{PC} A$ 和 $\vdash _{PC} ¬A$ 同时成立，即不会出现自相矛盾的情况。
完备性（Completeness）：
- 如果公式 $A$ 是重言式，则 $A$ 一定是PC中的定理（如果 $\models A$ ，则 $\vdash _{PC} A$ ）
- 如果 $A$ 是公式集合 $\Gamma$ 的逻辑结果，那么 $A$ 一定是 $\Gamma$ 的演绎结果（如果 $\Gamma \models A $ ，则 $\Gamma \vdash _{PC} A$ ）
- 说明了合乎逻辑的命题，在PC中一定能被推导出来

11 PC中的证明

推理的例子：

演绎的例子：

12 三个元定理

12.1 演绎定理

**演绎定理：**对任意公式集合 $\Gamma$ 和公式 $A$ ， $B$ ， $\Gamma \vdash A \rightarrow B$ 当且仅当 $\Gamma \cup \{ A \} \vdash B$ ，当 $\Gamma = \emptyset$ 时， $\vdash A \rightarrow B$ 当且仅当 $\{ A \} \vdash B$ ，或者说 $ A \vdash B$ 。