多元回归和Logistic回归

什么是线性回归

• 有监督学习 => 学习样本为$D=\{(x_i,y_i)\}^N_{i=1}$D={(xi​,yi​)}i=1N​
• 输出/预测的结果$y_i$yi​为连续变量
• 需要学习映射$f:x→y$f:x→y
• 假定输入x与输出y之间有线性相关关系

一元线性回归

$y=ax+b$y=ax+b

多元线性回归

损失函数（loss function）

我们要找到最好的权重/参数$[\theta_0,\theta_1,...,\theta_n]=\theta$[θ0​,θ1​,...,θn​]=θ

我们把x到y的映射函数f记作$\theta$θ的函数$h_\theta(x)$hθ​(x)

定义损失函数为:

梯度下降

逐步最小化损失函数的过程
如同下山，找准方向(梯度)，每次迈进一小步，直至山底（注：这里的$\frac{1}{2m}$2m1​只是一个系数，加上去是只是为了计算方便，下面的笔记中可能有些地方会省去，请勿在意）

在坐标系中的表示方法如下

假如现在有n个特征/变量$x_j(j=1...n)$xj​(j=1...n)

Tip1：调整学习速率

小心翼翼地调整学习率

举例：

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应学习率

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率

• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率

• 比如 $\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}$ηt=t+1​ηt​，$t$t 是次数。随着次数的增加，$\eta^t$ηt 减小

学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率

Adagrad 算法

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

普通的梯度下降为：

$w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t$wt+1←wt−ηtgt

$\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}$ηt=t+1​ηt​

• $w$w 是一个参数

Adagrad 可以做的更好：
$w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma^t}g^t$wt+1←wt−σtηt​gt
$g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w}$gt=∂w∂L(θt)​

• $\sigma^t$σt :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad 存在的矛盾

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

下图是一个直观的解释：

下面给一个正式的解释：

比如初始点在 $x_0$x0​，最低点为 $−\frac{b}{2a}$−2ab​，最佳的步伐就是 $x0$x0 到最低点之间的距离 $\left | x_0+\frac{b}{2a} \right |$∣∣​x0​+2ab​∣∣​，也可以写成 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$∣∣​2a2ax0​+b​∣∣​。而刚好 $|2ax_0+b|$∣2ax0​+b∣ 就是方程绝对值在 $x_0$x0​ 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 $w_1$w1​，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 $w_2$w2​，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 $a$a 和 $b$b，结论是成立的，同理 $c$c 和 $b$b 也成立。但是如果对比$a$a 和 $c$c，就不成立了，$c$c 比 $a$a 大，但 $c$c 距离最低点是比较近的。

所以上述结论是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$∣∣​2a2ax0​+b​∣∣​，还有个分母 $2a$2a 。对function进行二次微分刚好可以得到:$\frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a$∂x2∂2y​=2a
所以最好的步伐应该是：$\frac{一次微分}{二次微分}$二次微分一次微分​
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

对于 $\sqrt{\sum_{i=0}^t(g^i)^2}$∑i=0t​(gi)2​ 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：随机梯度下降法

之前的梯度下降：

$L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2$L=n∑​(y^​n−(b+∑wi​xin​))2
$\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1})$θi=θi−1−η▽L(θi−1)

而随机梯度下降法更快：

损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 $x^n$xn

$L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2$L=(y^​n−(b+∑wi​xin​))2
$\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta^{i-1})$θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数$L_n$Ln​，就可以赶紧更新梯度。

对比：

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）

Tip3：mini-batch

不是每拿到一个样本即更改梯度，而是若干个样本的平均梯度作为更新方向，则是mini-batch梯度下降算法。

Tip4：特征缩放

比如有个函数：

$y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}$y=b+w1​x1​+w2​x2​(12)
两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做？

上图左边是 $x_1$x1​ 的规模比 $x_2$x2​ 要小很多，所以当 $w_1$w1​ 和 $w_2$w2​ 做同样的变化时，$w_1$w1​ 对 $y$y 的变化影响是比较小的，$x_2$x2​ 对 $y$y 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 $w_1$w1​ 对 $y$y 的变化影响比较小，所以 $w_1$w1​ 对损失函数的影响比较小，$w_1$w1​ 对损失函数有比较小的微分，所以 $w_1$w1​ 方向上是比较平滑的。同理 $x_2$x2​ 对 $y$y 的影响比较大，所以 $x_2$x2​ 对损失函数的影响比较大，所以在 $x_2$x2​ 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数规模比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放？

方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组特征。

对每一个维度 $i$i（绿色框）都计算平均数，记做 $m_i$mi​；还要计算标准差，记做 $\sigma _i$σi​。

然后用第 $r$r 个例子中的第 $i$i 个输入，减掉平均数 $m_i$mi​，然后除以标准差 $\sigma _i$σi​，得到的结果是所有的维数都是 $0$0，所有的方差都是 $1$1

underfitting vs overfitting

回归与欠/过拟合

过拟合问题：如果我们有非常多特征/模型很复杂, 我们的假设函数曲线可以对原始数据拟合得非常好), 但丧失了一般性，从而导致对新给的待预测样本，预测效果差.

Coefficient of Determination

正则化

• 控制参数幅度，不让模型“无法无天”
• 限制参数搜索空间

岭回归和lasso回归

岭回归(Ridge regression: Hoerl and Kennard, 1970) 的原理和OLS 估计类似，但是对系数的大小设置了惩罚项。

lasso回归的原理

Logistic回归

logistic适用于解决分类问题，通过使用sigmoid函数完成由值到概率的转变，从而完成分类任务

线性回归-Logistic回归

sigmoid函数

Logistic回归参数估计

Logistic回归参数的学习规则为：

然后接下来的步骤和回归就一样了，防止过拟合的方法也是一样，例如在损失函数中加上惩罚因子后的样子如下