序列模型——循环序列模型（理论部分）

##一. 序列模型常用领域如下：##

Speech recognition（语音识别）
Music generation (音乐生成): In this cases，only the Y is a sequence, and X can be a single integer or the empty set. Y
Sentiment classification (情感分析): X is a sequence, i.e. ,“There is nothing to like in this movie”. Y is how many stars do you think this review will be?
DNA sequence analysis (DNA序列分析): DNA can be represented via the four alphabets A, C, G, and T. When given a sequence of DNA, label which part of this DNA sequence say corresponds to a protein. (给定一段DNA序列，标明哪段DNA序列对应哪种蛋白质)
Machine translation (机器翻译): The input X is a given sentence, output Y is the translation in a different language.
Video activity recognition (物体行为识别): X is a sequence of video frames, Y is the activity.
Name entity recognition (命名实体识别): you might be given a sentence and asked to identify the people in that sentence.

序列模型——循环序列模型（理论部分）

##二. 数字符号##

对于命名实体识别，即Name entity recognition：

X: Harry Potter and Hermione Granger invented a new spell. ( $X^{<1>}$ … $X^{<t>}$ … $X^{<9>}$ )
其中 $X^{<t>}$ 代表X序列的第 t 个单词的索引， $T_x$ 代表序列X（输入）的长度

Y: $Y^{<1>}$ … $Y^{<t>}$ … $Y^{<9>}$ 代表每个输入序列对应的输出的索引， $T_y$ 代表序列Y（输出）的长度

而 $X^{(i)<t>}$ 代表第 i 个样本的第 t 个单词， $T^{(i)}_{x}$ 代表第 i 个样本的序列长度, 依次类推可得出 $Y^{(i)<t>}$ 和 $T^{(i)}_{y}$ 的含义。

在这个例子中 $T_y$ = $T_x$ = 9

序列模型——循环序列模型（理论部分）

三. 循环卷积网络模型

对于时间序列而言，传统的神经网络有俩大不足的地方：

Inputs, outputs can be different lengths in different examples (在不同的例子中拥有不同的输入和输出)，尽管可以填充使其输入和输出达到最大值，但似乎不是很好的方法。
Doesn’t share features learned across different positions of text. (在序列的不同地方不能够共享学到的特征)

对于命名实体识别而言，若使用单向循环卷积网络，那么只能对于诸如 “ He said, ‘Teddy Roosevelt was a great President.’ " 对于判断Teddy是否为人名来说，单纯使用如下循环卷积网络，则判断 “Teddy” 时，只是简单的用到了 “He said，”. 序列模型——循环序列模型（理论部分）

对于正向传播来说，我们应该有以下公式：
$ a^{} = g_{1} ( W_{a} [a^{}, x^{}] + b_{a}) $ … (我在想这里的 $ [a^{}, x^{}]$ 是不是应该是 $ [a^{}, x^{<t>}]{T}$ )

$\hat{y}^{<t>} = g_{2} (W_{y} a^{<t>} + b_{y})$

其中， $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 分别代表非线性**函数， $g_{1}$ 一般为 tanh 或者 relu 函数， $g_{2}$ 一般为 Sigmoid 或者 Softmax 函数

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四.通过时间序列的反向传播

对于正向传播而言，其流程如下图所示，得到 $a^{<0>} \bigoplus x^{<1>} = a^{<1>} ; a^{<1>} \bigoplus a^{<2>} = a^{2} ; … ; a^{t-1} \bigoplus x^{t} = a^{t} $ 和 $ a^{<1>} -> \hat{y}^{<1>}; a^{<2>} -> \hat{y}^{<2>}; … ; a^{} -> \hat{y}^{}$

其中这里需要注意的是从 $ a^{t-1} 和 x^{t} 得到 a^{t} 需要系数 w_{a} 和 b_{a} (在每一个时间步 w_{a} 和 b_{a} 都是一样的)$, $ a^{t} 和得到 y^{t} 需要系数 w_{y} 和 b_{y} (在每一个时间步 w_{y} 和 b_{y} 都是一样的)$

序列模型——循环序列模型（理论部分）

为了计算反向传播，需要一个损失函数，特别的有：
如果在一段序列中，输入的 $X^{<1>}$ 是一个单词,那么 $y^{t}$ 是这个而单词的概率为1，而 $\hat{y}^{<t>}$ 是这个神经网络的输出，概率可能为1，那么代价函数可以定义为 $“标准 Logistic 回归损失函数”$ ，也叫作交叉熵损失函数，即如下所示：

$L^{<t>}(\hat {y}^{<t>}, y^{<t>}) = -y^{<t>} log (y^{<t>}) - （1-y^{<t>} ）log （1- y^{<t>}）$ ，这个是对于时间 t 的时候的损失函数

对于整个时间序列，则有损失函数：

$L (\hat {y}, y) = \sum_{t=1}^{T}-y^{<t>} log (y^{<t>}) - （1-y^{<t>} ）log （1- y^{<t>}）$

然后通过代价函数和梯度下降进行参数的学习，如下图所示，红色箭头代表反向传播，绿色箭头代表正向传播。

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五. 不同类型的循环神经网络

Many - to -many:
当 $T_{x} （多个）$ 和 $T_{y} (多个)$ 是一致的时候，我们称这个网络为多对一网络。例如英文翻译成中文的例子：

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当 $T_{x}$ 和 $T_{y}$ 长度不一致的时候，以法语跟英语之间翻译转换而言，我们可知其输入跟输出是不一样的，这就需要新的网络如下：
序列模型——循环序列模型（理论部分）
Many - to - one:
当 $T_{x} (多个)$ 和 $T_{y} (1)$ 的时候，我们称这个网络为多对一网络。例如通过电影评价来给电影评星的情况：

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One - to - many:
当 $T_{x} (1) $ 和 $T_{y} (多个)$ 的时候，我们称这个网络为一对多网络。例如通过一个音符或者一个数字来生成一段音乐：

当生成序列的时候，通常会把第一个合成的输出，也 feed 给下一层，所以实际上的网络结构如下图所示：

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六. 语言模型和序列生成

为了建立 RNN 这样的模型，首先需要一个训练集，包含一个很大的英文文本语料库（word corpus）, word corpus是自然语言 NLP 的一个专有名词。

对于句子 Cats ( $y^{<1>}$ ) average( $y^{<2>}$ ) 15( $y^{<2>}$ ) hours( $y^{<3>}$ ) of( $y^{<4>}$ ) sleep( $y^{<5>}$ ) a( $y^{<6>}$ ) day( $y^{<7>}$ )

这里的 $y^{<1>}$ , $y^{<2>}$ 都是一个one-hot向量，即该词在word corpus中所占的索引。同时还要定义句子是否结束了，那么可以用 EOS 来作为句子的结尾标记。

预测的步骤：
A.当我们要预测这个句子的时候，我们第一个输出初始化为 $x^{<1>} = \hat{0}$ 向量，同时 $ a^{<0>} = \hat{0}$向量，然后得到 $a^{1}$ 经过 $Softmax$ 函数可以得到第一词，所以 $\hat{y}^{<1>}$ 只是为了预测第一个词的概率。

B.在下一个时间步中，我们要把之前预测的第一个单词的概率 $x^{<2>} = y^{<1>}$ , 作为输出算出 $a^{<2>}$ , 然后最后得到 $\hat{y}^{<2>}$ , 其中 $\hat{y}^{<2>}$ 是第二个词的概率，即 $P(average | Cats)$ .

C.然后 $\hat{y}^{<2>}$ 是第三个词的概率，则可以得到 $P(average | Cats, average)$

对于整个句子的概率，我们有 $P(y^{<1>}, y^{<2>}, y^{<3>} ) = P(y^{<1>})P(y^{<2>} | y^{<1>}) P(y^{<3>}|y^{<1>},y^{<2>})$

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七. 对新序列采样

在训练一个序列模型后，要想了解这个模型学了什么，可以对RNN进行一次新序列的采样。

八. 带有神经网络的梯度消失

对于在自然语言处理中，可能会经常处理以下文本：

The cat， … (中间20个词)， was full.
The cats, … (中间20个词)， were full.

对于上面说讲到的RNN 结构，并不会有长期的记忆功能，即第一句 was 很难从 cat 学到是单数，而第二句 were 很难从 cats 学到是否是复数，因为中间相差了大概有几十个词，而普通的RNN并不具备长期记忆功能。

同时，对于梯度消失而言，当网络很深的时候，在进行反向传播的时候，可能会遇到梯度消失的时候。

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九. GRU 单元（Gated Recurrent Unit）##

对于门控单元，我们令 C 抽象为记忆单元，那么我们有 C = memory cell

$1. C^{<t>} = a^{<t>}$

$2. \widetilde{C}^{<t>} = tanh( W_{c} [c^{<t-1>}, x^{t}] + b_{c})$ （候选的抽象记忆单元，等待更新）

$3. \Gamma{u} (u为update的意思) = \sigma( W_{u} [c^{<t-1>}, x^{t}] + b_{u})$ （这一步是GRU真正的思想，有个门，0或者1，使用了sigmoid 参数）

$4. {C}^{} = \Gamma{u} * \widetilde{C}^{} + (1- \Gamma{u})*C^{} $ (如果 $\Gamma{u}=1$ 的话，意味着要更新，如果 $\Gamma{u}=0$ 的话，意味着不更新)

举个例子：当句子为 The cat, which already ate … ,was full.

当在cat的时候， $c^{<t>} = 1(代表单数), \Gamma{u}=1$ , 在这个时候更新, 但是当到cat 后面的单词…, $\Gamma =0$ （没有更新），这时候 $c^{}=1 $(因为没有更新，所以一直为单数)

示意图如下所示（简化版的GRU单元）：

序列模型——循环序列模型（理论部分）

在上图中，很容易看到， $x^{<t>}$ , $C^{<t-1>} = a^{<t-1>}$ 作为输入（一般而言会初始化为0向量），通过 tanh **函数得到 $\widetilde{C}^{<t>}$ , 通过 sigmoid **函数得到 $\Gamma{u}$ (0 或 1), 最后通过 ${C}^{<t>} = \Gamma{u} * \widetilde{C}^{<t>} + (1- \Gamma{u})*C^{<t-1>}$ (黑框) 得到 $C^{<t>}=a^{<t>}$ 。最后添加一个门的相关性，如下所示：

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十. 长短期记忆(LSTM)

对于上面提到的 GRU，更加强大的有 LSTM，其具有三个门，在LSTM里，不再跟上面一样具有 $C^{<t>}=a^{<t>}$ 的性质。

$\widetilde{C}^{<t>}= tanh(w_{c} [a^{<t-1>}, x^{t}]+b_{c})$
$\Gamma{u}=\sigma(w_{a}[a^{<t-1>},x^{t}]+b_{u})$ (更新门)
$\Gamma{f}=\sigma(w_{f}[a^{<t-1>},x^{t}]+b_{f})$ (遗忘门)
$\Gamma{o}=\sigma(w_{o}[a^{<t-1>},x^{t}]+b_{o})$ (输出门)
$C^{<t>}=\Gamma_{u}*\widetilde{C}^{<t>} + \Gamma_{f}*C^{<t-1>}$
$ a^{}=\Gamma_{o} * tanhC^{}$

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正如下图横线所示，只要正确设置了更新门和遗忘门，LSTM 是很容易把 $c^{0}$ 一直传递下去的。其中值得指出的是，门值 $\Gamma_{o}$ 不仅仅取决于 $a^{<t-1>},x^{<t>}$ 参数, 也可以取决于上一个记忆细胞的值，即 $\Gamma{o}=\sigma(w_{o}[a^{<t-1>},x^{t}]+b_{o})$ 也可以写成 $\Gamma{o}=\sigma(w_{o}[a^{<t-1>},x^{t}, C^{<t-1>}]+b_{o})$ , 然后通过窥视孔连接(peephole connection)可以达到改变三个门的值。

但是必须清楚的是：第 50 个 $C^{<t>}$ 只能影响第50个元素，第100个 $C^{<t>}$ 只会影响第100个元素（这里的元素指的是门的值）

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十一. 双向神经网络

对于句子：

He said, “Teddy bears are on sale!”
He said, “Teddy Roosevelt was a great President!”

对这俩个句子, 当我们只看前三个单词的时候，并不能清楚的知道 “Teddy” 是人还是泰迪熊，这就需要双向传播了。

双向 RNN 的双向传播的基本原理：

（蓝色框框） $\overrightarrow{a}^{<1>}$ , $\overrightarrow{a}^{<2>}$ , $\overrightarrow{a}^{<3>}$ , $\overrightarrow{a}^{<4>}$ 来代表前向的循环单元，这里可以用 LSTM 或者 GRU 都可以。

2.（绿色框框） $\overleftarrow{a}^{<1>}$ , $\overleftarrow{a}^{<2>}$ , $\overleftarrow{a}^{<3>}$ , $\overleftarrow{a}^{<4>}$ 来代表反向的循环单元，同样的可以用LSTM 和 GRU来表示。

给定一个输入序列, $X^{1}$ 到 $X^{4}$ , 这个序列首先计算前向的 $a^{<1>}$ , 然后计算前向的 $a^{<2>}$ , 然后是 $a^{<3>}, a^{<4>}$ , 而反向序列，则是从计算 $a^{<4>}$ 开始的，然后到达 $a^{<1>}$ 。（这里值得注意的是，虽然是反向的，但是计算的**值还是前向的，即训练出来的参数还是为前向传播服务的，即前向传播一部分是从左到右，一部分又是从右到左的）

则公式为 $\hat{y}=g(w_{a}[\overrightarrow{a}^{<t>}, \overleftarrow{a}^{<t>}]+b_{a})$

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十二. 深层循环神经网络

对于深层循环神经网络，其实就是在每一个时间段的输出对其进行另一个神经网络的叠加。值得注意的是，每一层的神经网络参数 $w_{a}, b_{a}$ 和 $w_{y}, b_{y}$ 在每一个时间节点都是共享同样的参数的。

序列模型——循环序列模型（理论部分）

对于参数 $a^{[2]<3>}$ 而言，其输入参数来自于bottom 和 left，其表达式可写为：

$a^{[2]<3>} = g (w^{[2]}{a} [a^{[2]<2>}, a^{[1]<3>}] + b{a}^{[2]}) $