学习机器学习的时候有涉及到共轭函数（也叫对偶函数），这边文章总结一下共轭函数的学习
共轭函数的定义：对于函数 其定义如下：
表示函数
的定义域，可以这样理解这个函数：首先它是关于
的函数，给定一个
值时，关于
的函数
在定义域上的最大值，即
对应的值
共轭函数在支持向量机的数学理论证明有涉及过，在最近火的不行的Gan生成对抗神经网络进阶版本的数学推理中也发挥着神奇的作用（听说待学习）
因为它有两个非常好的性质：
1. 无论是否是凸函数，其共轭函数都是凸函数
2. 凸函数的共轭函数的共轭函数是它自己
首先解释一下凸函数，机器学习里面的的凸函数和以前高中数学学到的凸函数有点不一样，在机器学习里面 是凸函数，
是凹函数，简单来说，机器学习里面的凸函数有下面的性质（也是凸函数的定义之一）：
可以简单的从下图理解：（）
现在来证明共轭函数第一条性质，即：
1. 无论是否是凸函数，其共轭函数都是凸函数
等价要证明：
代入共轭函数的定义，上述不等式等价于：
上述不等式左边等价于：
假设在出取到最大值，上式等于：
而
和
相加，右边把
和
从
里面提取出来，即等于公式
的右边，由此可证公式
证明共轭函数的第二条性质，即：
2. 凸函数的共轭函数的共轭函数是它自己
函数 的共轭函数如下：
由于是凸函数，给定
,关于
的函数
最大值在导数等于
的时候取得，（可以想象一下
）
即：
即对于给定，
对于的
是
的最大值，所以
又可以写成：
的共轭函数如下：
同理，对于给定的，
时，取最大值
结合公式(由于公式
，x可以看成关于t的函数，根据复合函数求导和乘积求导法则，可以得到下面的等式)：
代入公式，上述等式等价于：
即对于给定的,
时，
取最大值，即：
代入 ：
即f(x)的共轭函数的共轭函数是它自己