【计算理论】下推自动机 PDA ( 设计下推自动机 | 上下文无关语法 CFG 等价于 下推自动机 PDA )

文章目录

• I . 下推自动机 设计
• II . 上下文无关语法 ( CFG ) 等价于 下推自动机 ( PDA )

I . 下推自动机 设计

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设计下推自动机 , 可以识别 $\{ ww^R : w \in \{ 0, 1\} ^* \}${wwR:w∈{0,1}∗} 语言 ;

$R$R 表示镜面反射 , 如果 $w$w 是由 $0 , 1$0,1 组成的字符串 $011$011 , 那么 $w^R$wR 就是其镜面反射 $100$100 字符串 , 然后将 $w$w 和 $w^R$wR 串联在一起 , $ww^R = 011100$wwR=011100 ;

1 . 首先生成开始状态 ;

开始状态是接受状态 , 因为如果字符串是空字符串 , 空字符串的镜面反射还是空字符串 , 因此读取空字符串后的状态 , 是接受状态 , 开始状态其本身就是接受状态 ;

2 . 向栈底放入 字符 $S$S , 用于作为栈底的标识 , 生成 $\varepsilon , \varepsilon \to S$ε,ε→S 指令 ;

$\varepsilon , \varepsilon \to S$ε,ε→S 指令包含 $2$2 部分 : 读取字符 , 和 栈内操作 ;

• 读取字符 : 指的是读取的带子上的字符串 , $\varepsilon , \varepsilon \to S$ε,ε→S 中前面的 $\varepsilon$ε 指的是从带子上读取 $\varepsilon$ε ;

• 栈内操作 : 使用某个字符 替换 栈顶字符 ; $\varepsilon , \varepsilon \to S$ε,ε→S 中后面的 $\varepsilon \to S$ε→S 指的是使用 $S$S 字符替换栈顶的空字符 $\varepsilon$ε ;

3 . 镜面反射的前半个镜面 :

$0$0 入栈 : 每读取一个 $0$0 , 就将 $0$0 放入栈中 , 生成指令 $0, \varepsilon \to 0$0,ε→0 ;

$1$1 入栈 : 每读取一个 $1$1 , 就将 $1$1 放入栈中 , 生成指令 $1, \varepsilon \to 1$1,ε→1 ;

4 . 跳转到新的状态 , 在新的状态执行 后半个镜面的操作 :

无条件跳转就是读取 $\varepsilon$ε , 并且栈中元素保持不变 , 即使用 $\varepsilon$ε 替换栈顶的 $\varepsilon$ε ;

生成的指令为

$\varepsilon , \varepsilon \to \varepsilon$ε,ε→ε

当前的下推自动机 :

5 . 镜面反射的后半个镜面 :

$0$0 出栈 : 每读取一个 $0$0 , 从栈里拿走一个 $0$0 , 生成指令 $0, 0 \to \varepsilon$0,0→ε ;

$1$1 出栈 : 每读取一个 $1$1 , 从栈里拿走一个 $0$0 , 生成指令 $1, 1 \to \varepsilon$1,1→ε ;

6 . 栈清空 , 跳转到最后的 接受状态 : 上述出栈操作执行若干次后, 总能将栈内的字符取出完毕 , 只剩下一个 $S$S 字符 , 该字符是栈底的标识 ; 此时将 $S$S 字符从栈内取出即可 ;

生成如下指令 :

$\varepsilon , S \to \varepsilon$ε,S→ε

指令含义是 读取 $\varepsilon$ε 字符 , 使用 $\varepsilon$ε 字符替换栈中的 $S$S 字符 ;

最后跳转到的状态是接受状态 ;

当前下推自动机为 :

II . 上下文无关语法 ( CFG ) 等价于 下推自动机 ( PDA )

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假设某语言由 上下文无关语法 ( CFG ) 生成 , 找到一个 下推自动机 ( PDA ) 识别该语言 ;

构造下推自动机流程 ( PDA ) :

构造下推自动机 , 包含 $3$3 个状态 , 开始状态 $q_{start}$qstart​ , Loop 循环状态 $q_{loop}$qloop​ , 可接受状态 $q_{accept}$qaccept​ ;

1 . $q_{start}$qstart​ 开始状态 :

读取 $\varepsilon$ε 字符 , 使用 $TS$TS 替换栈顶的 $\varepsilon$ε , 对应的指令为

$\varepsilon , \varepsilon \to TS$ε,ε→TS

其中的 $S$S 是栈顶的标识 , $T$T 是栈内的实际字符 ;

2 . $q_{loop}$qloop​ 循环阶段 , 根据 上下文无关语法 ( CFG ) 做替换 ;

① 当栈顶是变元时 , 作变换 , 读取 $\varepsilon$ε , 即什么都不读取 , 将栈顶的变元 替换成 $w$w , 生成的 下推自动机 指令为 " $\varepsilon , A \to w$ε,A→w " , 对应着的上下文无关语法规则为 $A \to w$A→w ;

② 当栈顶是终端字符 ( 常元 ) , 让带子上的 读头 读取一个终端字符 , 对应的栈中 , 将栈顶的终端字符删除 , 相当于使用 $\varepsilon$ε 替换终端字符 , 生成指令 " $a , a \to \varepsilon$a,a→ε " ;

一直读取 终端字符 , 并将栈顶的终端字符删除 , 一直循环该操作 , 直到 栈顶是一个变元 未为止 ;

3 . 跳转到 $q_{accept}$qaccept​ 状态 : 当栈内的字符都出栈后 , 只剩下一个 $S$S 字符作为栈底标识 , 此时 $S$S 出栈 , 生成对应的 下推自动机指令 " $\varepsilon , S \to \varepsilon$ε,S→ε " , 即使用空字符 $\varepsilon$ε 替换栈内的 $S$S 字符 ;

之后跳转到最后一个状态 , $q_{accept}$qaccept​ 可接受状态 ;