利用牛顿迭代法实现对一个整数开平方根（javascript实现）

• 牛顿迭代法的简介

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

• 牛顿迭代公式的推导

设 $r$r是 $f(x)=0$f(x)=0 的根，选取 $x_0$x0​作为 $x$x的初始近似值，过点$(x_0,f(x_0))$(x0​,f(x0​)) 做曲线 $f(x)$f(x)的切线 $L$L ，$L:y = f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)$L:y=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​) ，则 $L$L 与 $x$x 轴交点的横坐标$x_1 = x_0-\frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)}$x1​=x0​−f′(x0​)f(x0​)​ ，$x1$x1称 为$f(x)=0$f(x)=0 的一次近似值。过点$(x_1,f(x_1))$(x1​,f(x1​)) 做曲线$y=f(x)$y=f(x) 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标$x_2 = x_1-\frac{f(x_1)}{f^{'}(x_1)}$x2​=x1​−f′(x1​)f(x1​)​ ，称 为$r$r的二次近似值。重复以上过程，得 $r$r 的近似值序列，其中，$x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}$xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​ 称为 $r$r 的 ${n+1}$n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

• 应用牛顿迭代法求解$\sqrt{x}$x​

  设$f(x)=x^2-c$f(x)=x2−c,取一个接近的值$x_0$x0​作为初始值，则第一次近似值为$x_1=x_0-\frac{x_0^2-c}{2x_0}$x1​=x0​−2x0​x02​−c​,第二次近似值为$x_2=x_1-\frac{x_1^2-c}{2x_1}$x2​=x1​−2x1​x12​−c​,…,第${n+1}$n+1次近似值为$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-c}{2x_n}$xn+1​=xn​−2xn​xn2​−c​，化简得出迭代公式：$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{c}{x_n})$xn+1​=21​(xn​+xn​c​).

• javascript代码实现

 //求绝对值
        function abs(x) {
            return x > 0 ? x : -x;
        }
        //牛顿迭代法求解算术平方根算法
        function sqrt(x) {
        	if(x == 1)
        		return 1;
            var x0 = 1;       
            var x1;
            var x2 = x0;
            var y = x;
            //如果误差大于10^-6，就继续进行迭代
            while (abs(x2 - y) >= 1e-6) {
            //迭代核心公式
                x1 = (x0 + x/x0)/2;
                x2 = x0;
                y = x1;
                x0 = x1;
            }
            return x1;   
        }
        //输出100以内的所有整数的算术平方根
        for(var i = 1 ; i < 100 ; i++) {
            console.log(i + '的算术平方根的值为'+sqrt(i));
        }

• 测试结果