模糊控制 之 理论知识

支集( S u p p A = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) > 0 SuppA=\{x|x\in U,A(x)>0 SuppA={x∣x∈U,A(x)>0)是F集合中所有大于零的元素组成的集合

核( K e r A = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) = 1 KerA=\{x|x\in U,A(x)=1 KerA={x∣x∈U,A(x)=1)是F集合中所有等于1的元素组成的集合

如果支集不为空，则称为正规F集，注意幂集记作 ψ U \psi U ψU(实在打不出来，符号超级复杂)

特征函数就是在不在， A A A好像就是代表特征函数(它取值0~1之间)，F集合是模糊集合，与普通集合不同，它没有明显的界限。

集合数积，这里A更像一个函数(特征函数)，输入x输出0或1，这里 λ \lambda λ就是 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]，这样 λ A \lambda A λA不是0就是1，数积 λ A \lambda A λA后就是一个集合。

曲线是随便乱画的，凡是出现的曲线属于 S u p p A SuppA SuppA， K e r A KerA KerA是最高的点， λ A \lambda A λA就是特定的数了。

课本上的定义是正确性在先，通俗性在后，你的定义应该是通俗性在先，正确性在后，二者结合，先看你的定义，再看课本上的定义，就会又快又正确。

经典集合的凸集

就是任意两点之间的连线上的所有点都在集合内，这就是凸集。
凸F集的定义是任何中间的隶属度( A ( x 3 ) ≥ m i n ( A ( x 1 ) , A ( x 2 ) ) , A ( x 3 ) = A ( x 1 ) ∧ A ( x 2 ) A(x_3)\ge min(A(x_1),A(x_2)),A(x_3)=A(x_1)\wedge A(x_2) A(x3​)≥min(A(x1​),A(x2​)),A(x3​)=A(x1​)∧A(x2​))，都要大于两边元素的隶属度中的小者(对就是小者)，反应在曲线上是一个单峰A(x)函数

把实数域上的正规的，凸F集称为正规实模糊数，简称模糊数，即把以某个实数值为核的，凸F集称为F数(F数的本质是凸F集)。F数是一类特殊的F集合，是实数域上的F集合，它的性质和一般F集合完全相同，例如”20岁左右“(20就是A的核，20岁上下的隶属度都小于20岁的1，这是没问题的，这就是凸F集)，”1.8m上下“，既可以用F集合表示，也可以用F数表示(例如F数2，F数3，F数20)。
A表示的方法：序对法(就是一对一对的)，札德法(一连串的分数，分母是x，分子是A(x))，向量法(组成一个向量，但排列顺序必须相同，且0不能省略)，这些都是离散的。
连续的例如函数法，没了。
F集合完全由隶属函数所描述。至今为止，确定隶属函数的具体方法大多停留在经验，实践和实验数据上，经常使用的经验方法有以下几种：模糊统计法，二元对比排序法，专家经验法(教授还是吃香的。。。)，神经网络法。无论哪种方法，都离不开人的主管参与和客观实际的检验。

F集合的运算
设论域为 U U U，如果任何一个 x x x，有 A ( x ) = 1 A(x)=1 A(x)=1，则称A为论域 U U U上的全集(模糊全集)( A ( x ) ≡ 1 A(x)\equiv 1 A(x)≡1)，同理，模糊空集为( A ( x ) ≡ 0 A(x)\equiv 0 A(x)≡0)，F全集与F空集都属于经典集合。模糊集合还有相等，包含(均有 A ( x ) ≤ B ( x ) A(x)\le B(x) A(x)≤B(x))，并集( C ( x ) = m a x [ A ( x ) , B ( x ) ] = A ( x ) ∨ B ( x ) C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)\vee B(x) C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)∨B(x))，交集( C ( x ) = m i n [ A ( x ) , B ( x ) ] = A ( x ) ∧ B ( x ) C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)\wedge B(x) C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)∧B(x))，补集( B ( x ) = 1 − A ( x ) B(x)=1-A(x) B(x)=1−A(x))

由此可见模糊集合运算的本质意义与传统 集合是不同的(但是也符合分配律结合律什么的)。同时，还有许多其他的运算定义，来满足实际需要。

接着学习基础知识：
A到B的直积(笛卡尔积)：
A × B = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y ∈ B } A\times B=\{(x,y)|x\in A, y\in B\} A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}，一般情况下， A × B ≠ B × A A\times B \neq B\times A A×B​=B×A，n元直积也是可以的，弄出来像向量一样的东西。经典集合论中，两个元素要么有关系，要么没关系，这也是特别清晰的。直积可以用矩阵(布尔矩阵)表示，

这是笛卡儿积的运算过程(笛卡尔积组成的集合也算集合，是吧)。好吧，大致知道是怎么回事了，注意，现在仍然还是准确的。

下面开讲模糊的：
就是上面把0或1改成0到1之间的数。。。这就是二元模糊关系。。。现在是二元的模糊关系了研究的是。
二元模糊同样可以用札德法，毕竟就是下面的变量改了改。。矩阵法一模一样（叫F矩阵，本质上与布尔矩阵是相对的，是布尔矩阵的推广）。。
当是连续关系的时候，就是简单的二元函数。。。
二元模糊关系的运算。。。。差不多都是一样的。
经典关系的合成：父子关系与父子关系合成祖孙关系。
R ( x , z ) = ( P ∘ Q ) ( x , z ) = { ( x , z ) ∣ ∃ y , ( x , y ) ∈ P , ( y , z ) ∈ Q } R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\{(x,z)|\exists y,(x,y)\in P,(y,z)\in Q\} R(x,z)=(P∘Q)(x,z)={(x,z)∣∃y,(x,y)∈P,(y,z)∈Q}
集合的特征函数也可以表示，实际上，特征函数就是关系(0表示没有关系，1表示有关系)。两个关系相当于两个函数，合成是这样算的： R ( x , z ) = ( P ∘ Q ) ( x , z ) = ∨ ( P ( x , y ) ∧ Q ( y , z ) ) R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\vee (P(x,y)\wedge Q(y,z)) R(x,z)=(P∘Q)(x,z)=∨(P(x,y)∧Q(y,z))，其中的元素也遵循这样的规律 r i j = ∨ ( p i k ∧ q k j ) r_{ij}=\vee (p_ik \wedge q_kj) rij​=∨(pi​k∧qk​j)，这种运算方法过程跟普通矩阵(就是普普通通的矩阵)乘积运算相似，把元素中间的相乘改为取小，相加改为取大，也就是说，实际上仍然是要一列一列的运算那种，通常把这种合成运算方法称为取大-取小合成法，记作 ∨ − ∧ \vee-\wedge ∨−∧法，又因为这里是布尔矩阵，不是1就是0，那么取小也可以用乘积取代，是为取大-乘积合成法，记作 ∨ − ∗ \vee-* ∨−∗法。
F关系合成呢？别说了，想一下立马知道了。
例子是“a的品德比b好，b的品德比c好，得出a的品德比c好得多”，可见F关系也能合成。这里的取大-取小合成法才真正地起作用。
由于F矩阵的元素都小于1，合成时两个元素“取小”和“相乘”的结果相差不大，而乘积的计算更为方便，因此也常用“相乘”代替“取小”。

下面说明几种清晰化方案：
模糊集合的截集，说白了，就是绩点。当然，如果连续的模糊集合无限分层，或者大量相差很小的经典集合求并，会成为模糊集合，反之，F集合的截集合可以使F集合转化为经典集合。截集的定义为：
A λ = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) ≥ λ } A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)\ge\lambda\} Aλ​={x∣x∈U,A(x)≥λ}
称 A λ A_\lambda Aλ​为A的一个 λ \lambda λ-截集， λ \lambda λ为阙值或置信水平。
称集合 A λ = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) > λ } A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)>\lambda\} Aλ​={x∣x∈U,A(x)>λ}为F集A的一个 λ \lambda λ-强截集。
λ \lambda λ-截集与 λ \lambda λ-强截集都属于经典集合，利用数积的概念，任何一个模糊集合A可以看作无限多截集 A λ A_\lambda Aλ​的并( A = ∪ λ ∈ [ 0 , 1 ] ( λ A λ ) A=\cup_{\lambda\in[0,1]}(\lambda A_\lambda) A=∪λ∈[0,1]​(λAλ​))，这就是模糊集合的分解定理。该定理反映了F集合与经典集合的相互转化的关系。

模糊关系矩阵的截矩阵
唉，，，关于一个截距 λ \lambda λ，超过了就是1，没超过就是0，就这样。

模糊集合转化为数值，为什么啊？听说挺重要的。这种转换也称为模糊集合的清晰化或反模糊化。

1. 面积中心(重心)法，面积中心法直观合理，言之有据，但计算略显复杂。
2. 面积平分法，将隶属函数曲线面积平均分成两半，找这条线，用该值代表该模糊集合。直观合理，计算简便，在模糊控制器中使用较多。
3. 最大隶属度法，通常模糊集合并非都是正规的和凸的，隶属函数也并非一条连续直线。因此，用隶属度最大点对应的元素值，代表这个模糊集合是一种简便方法，称为最大隶属度法。但往往有以偏概全之嫌。说不定在多处隶属度都取最大值。这样还要用最大隶属度平均值法，最大隶属度最大值法，最小值法，这就是清晰化。