MODERN ROBOTICS MECHANICS 第三章 Rigid-Body Motions（刚体运动）

这一章非常重要，内容有些多，是后续章节的基础

• 刚体的速度由{\Bbb R}^6R6表示（twist）：3个角速度，3个角速度
• 刚体的受力由{\Bbb R}^6R6表示（wrench）：3个力矩，3个力
• free vector： 只有长度和方向的向量，例如线速度向量就是自由向量
• space frame{s}: 可以理解为基座上的坐标系，定系，也叫fixed frame
• boby frame{b}: 可以理解为末端执行器上的坐标系，动系
• 笛卡尔坐标系约定： 

1 刚体的在空间中的运动

• 在{s}坐标系下表示{b} ，注意带有\hat{}^符号的向量是单位向量
  • 位置 
  • 角度

• 刚体在运动过程中无非就是平移+旋转，这个特别像螺旋运动（旋转+平移）
  • 旋转轴：
  • 旋转+平移表示为：绕旋转轴旋转
  • 角速度+线速度表示为 (可以理解为旋转+平移的微分)

2 旋转和角速度

2.1 旋转矩阵

2.1.1 旋转矩阵的性质

• 旋转矩阵R的性质：
  • 由3列组成，每列3个元素
  • 每列都是单位向量
  • 任意两列之间互相垂直
  • 通过线性代数的知识就可以知道，满足上面这三点的矩阵是3维的标准正交阵
• 群的概念
  • 不要感觉它很高大上
  • 只要满足以下四个性质，都可以称之为群，对于A,B属于一个集合（如：A,B属于标准正交阵的集合）
    • 封闭性：AB还在这个集合中，（两个标准正交阵的乘积还是标准正交阵）
    • 结合律：(矩阵乘法满足这个规律)
    • 存在单位元：(对于标准正交阵集合，单位矩阵就是单位元)
    • 存在逆元：(对于标准正交阵集合，矩阵的转置就是矩阵的逆)
• 有了旋转矩阵的性质和群的概念，可以很清楚的知道，旋转矩阵的集合就是一个群，我们称之为特殊正交群，缩写SO(3)

2.1.2 旋转矩阵的使用

• 表示方向
  • :坐标系{b}在坐标系{s}中的表示
• 改变参考坐标系
  • 
  • 在下一章求正运动学中会用到
• 旋转矢量或坐标系
  • 将坐标系{s}绕转轴旋转得到{s'}
• 绕坐标轴的旋转公式： 

• 更一般的旋转公式

2.2 角速度

• 斜对称矩阵：斜对称矩阵被称为so(3)(李代数),给定向量,则斜对称矩阵定义为：

• 斜对称矩阵的应用

  • 对于任意,R∈SO(3),总有成立
  • 将叉乘转化为点乘：
• 求：

• 对于定坐标系{s}: 
• 对于动坐标系{b}: 

2.3 旋转的指数坐标表示

2.3.1 线性微分方程的求解

• 微分方程 

• 将上式微分方程中的a转换为矩阵A时：

• 矩阵的指数方程满足下面性质：
  • 
  • 如果矩阵A可以表示为(证明过程看书)

  • 如果 ，则 

  • 

2.3.2 旋转的指数坐标表示

• 已知时，位置在,绕着轴旋转，当时，位置在，任意时刻线速度为：

• 旋转矩阵的指数表示如何计算：

• 旋转矩阵的指数表示为：

2.3.3 旋转的对数矩阵

• 旋转矩阵的指数表示为,它的逆运算被称为对数矩阵
• 已知R，求的计算过程：（推导过程见教材）
  • 如果,则不能决定
  • 如果,则为下面3个中有意义的一个：

• 其他情况为：

3 刚体的运动与扭转

3.1 齐次变换矩阵

• 齐次变换矩阵：这个名词不要把它看得特别奇特，就是我们常说的T,由旋转矩阵和位置向量组成
• 特殊欧拉群（Special Euclidean Group）：前面说过，只要满足封闭性、结合律、存在单位元、存在零元都可以成为群，这里将具有齐次变换矩阵形式的矩阵集合称为特殊欧拉群 

3.1.1 齐次变换矩阵的性质

• 齐次变换矩阵的逆还是齐次变换矩阵，而且求逆有简单方法

• 齐次变换矩阵的乘积还是齐次变换矩阵
• 满足结合律：
• 齐次坐标：已知坐标,齐次坐标为
• 标准欧几里得范数：

• 标准欧几里得內积

3.1.2 齐次变换矩阵的使用

• 主要用途：
  • 刚体的位置和方向表示: 
  • 改变参考坐标系: ​
  • 置换（旋转和平移）一个向量或坐标系:

• 坐标变换（相对于固定坐标系{s}）: 
• 坐标变换（相对于动坐标系{b}）:

3.2 Twists

3.2.1 Twists的理解

• 定义：，b:代表{b}(body); s:代表{s}(space)
• 斜对称矩阵：(推导过程看书)
  • :在{b}坐标系下的角速度
  • ​:在{s}坐标系下的角速度
  • :在{b}坐标系下的线速度
  • :在{s}坐标系下的线速度

• 伴随矩阵：,求T的伴随矩阵

• T的伴随映射(T用于位置的变换，T的伴随用于速度的变换)：

• 伴随矩阵的性质：
  • 
  • 

3.2.2 Twists的旋量解释

• 角速度可以表示为,为单位向量，只表示方向
• twists也可以有类似的表示：
• 螺旋轴在这里也称为旋量，可以由三个参数表示
  • : 螺旋轴上的任意一点
  • : 螺旋轴方向上的单位向量
  • : 螺距，绕轴线转动一圈而沿轴线移动的距离（线速度/角速度
    • :纯选择
    • :纯移动

3.3 刚体运动的指数坐标表示

3.3.1 刚体运行的指数表示

3.3.2 刚体运行的对数表示

4 Wrenches

• 上一节主要讲的是运动学有关的物理量在指数空间上的表示，这一节讲解动力学有关的物理量在指数空间上的表示
• 定义一个6维空间力在坐标系{a}中的表示，也叫wrench，符号为​(实际上就是力矩和力的结合)

• 功率与坐标系的选择无关： 

• 固定坐标系{s}与末端执行器动坐标系{b}之间的转换

5 总结

• 最后给出总结：（摘自 （美）John J. Craig写的《Introduction to Robotics Mechanics and Control》）