第六章 时间序列分析（二）平稳时间序列的谱密度

时间序列分析

需要解释的概念

• 平稳时间序列的谱密度

平稳时间序列的谱密度

• 书上说了一大堆，什么每个X_t都可以看成互相独立的正弦波叠加所引起的什么之类的，但是基本上我是没怎么看懂，只需要记住两个公式就够了，一个是协方差函数（以往都是自相关函数转谱密度，这次是协方差）转谱密度，另一个是谱密度转协方差。
• 协方差转谱密度：

$f(\lambda) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}v_k*e^{-ik\lambda}$f(λ)=2π1​k=−∞∑+∞​vk​∗e−ikλ

• 其实这个跟傅里叶变换的谱密度没啥区别，只不过把积分号换成了求和号，而且在前面多了一个1/2pi而已。
• 由于v_k具有对称性，所以实际上把对称性的性质带进去可以把上面的式子拆成v_0一项和v_1到正无穷求和一项，便于有些特殊的平稳时间序列如正态白噪声之类的使用。
• 谱密度转协方差：

$v_k=\int_{-\pi}^{\pi}f(\lambda)cos(k\lambda)d\lambda$vk​=∫−ππ​f(λ)cos(kλ)dλ

• 这里面说f(lambda)是傅里叶级数，所以产生了这个式子，不太懂

• 在遇到求谱密度的题的时候，先按照定义求v_k，然后根据协方差转谱密度的公式来转。

• 总结一下，如下图所示。