各种搜索

搜索

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本校的Lazer2001 学长为我们讲了搜索（乱搞）

• 搜索
  • 基础：位运算
    • 超级基础
    • 感觉有点难度？
    • bitset
    • 例题：位运算 & bitset
  • 基础搜索
    • DFS
    • BFS
  • 特殊的搜索方式
    • 双向DFS搜索
    • 双向BFS搜索
    • 哈希
    • 康托展开
    • 迭代加深搜索（IDDFS）
      • 例题：埃及分数
      • 解答
    • 启发式搜索（A∗A∗A^{*})
      • 估价函数
      • 例题：斗地主
  • 总结（垃圾话）

基础：位运算

（对于二进制数X$X$）

超级基础

判断第i$i$位是否为1：X&(1<<(i-1))
将第i$i$位赋值为1：X|(1<<(i-1))
将第i$i$位赋值为0：X&(X^(1<<(i-1)))
将第i$i$位取反：X^(1<<(i-1))

感觉有点难度？

将最后一个1变成0：X-lowbit(X)=X-X&(-X)
统计1的个数：while(X) {X-=lowbit(X); num++; }
枚举子集：for(s=X;s;s=(s-1)&X)
（复杂度n3$n^3$）

bitset

其实不会
总结如下：

利用位运算压缩过的bool数组
可以对两个bitset进行正常的与、或、非、左移右移等位运算
还有一些方便的操作：any,none,count,flip
空间、时间效率都有较大提升

其实就是把很多个bool->几个long long的操作了。

例题：位运算 & bitset

1. 给定n$n$个数，求它们所有子集和的异或和。n⩽1000,∑ai⩽106$n⩽1000,\sum a_i⩽{10}^6$
2. n皇后问题n⩽15$n⩽15$

基础搜索

DFS

BFS

Lazer2001 前辈的神奇代码。

特殊的搜索方式

各种乱搞

双向DFS搜索

考虑一个问题的解空间为xy$x^y$规模级别，每个解可有两段结果并起来，即可考虑利用双向DFS搜索。

Θ(xy)→Θ(xy2)∗logxy2$$\mathrm{\Theta }(x^y)\to \mathrm{\Theta }(x^{\frac{y}{2}})\ast log{x}^{\frac{y}{2}}$$

常用于统计类搜索问题。

双向BFS搜索

考虑一个问题的解空间为xy$x^y$规模级别，每个解可有两段结果并起来，即可考虑利用双向BFS搜索。（就是复制的）

Θ(xy)→Θ(xy2)∗Θ(judge)$$\mathrm{\Theta }(x^y)\to \mathrm{\Theta }(x^{\frac{y}{2}})\ast \mathrm{\Theta }(judge)$$

常用于最优化搜索问题。

哈希

康托展开

迭代加深搜索（IDDFS）

有限度的乱搞

例题：埃及分数

将一个分数 ab$\frac{a}{b}$表示成多个单位分数（不能相同）的和，要求用的分数个数尽量少，个数相同时最小的分数尽量大。1<a<b<500$1<a<b<500$

解答

每次限制使用的分数数量
利用深度上限进行剪枝：之后的分数都严格比当前小，如果在规定步数内按照当前分数的大小都无法达到要求，则剪枝。

启发式搜索（A∗$A^{\ast }$)

估价函数

决定了“搜索的顺序”
需要满足什么条件?
f(n)=g(n)+h(n)$f(n)=g(n)+h(n)$
h(n)⩽r(n)$h(n)⩽r(n)$,其中h(n)$h(n)$为估价函数，r(n)$r(n)$为实际代价
A∗$A^{\ast }$算法
只要找到解，则一定是最优解
BFS、dijistra都是（没有任何优化的)A∗$A^{\ast }$算法

例题：斗地主

NOIP原题（UOJ（随机数据）/洛谷（加强版））

预处理：n⩽7$n⩽7$时，用HASH表（或map）直接存答案
不搜索单张，贪心打小牌。

堪称搜索神题

总结（垃圾话）

Lazer2001学长因为在SCOI2018上被电子神大卡没了了100+，(张叔叔博客）但他仍然是一位优秀的老师。他的随和给我们留下了深刻的印象。
他用了一晚上告诉我们他的经验教训，拳拳真情，令我等不禁见贤思齐（见不贤内自省）。

希望他在今后的奋斗路上，长风破浪，步步高升！