量子傅里叶（QFT）的电路实现

量子傅里叶（QFT）的电路实现

推导

DFT的表达式为：
量子傅里叶为：

利用代数变换可以进行如下变换：

整数j的二进制表示为：j=j₁ j₂ ··· j_n。
小数j的二进制表示为：j=0.j_l j_l+1 ···j_m。

电路图

上述推导的结果可以很方便的生成一个有效电路。

门R_k代表酉变换：

考虑当|j₁···j_n>为输入态时，电路图中会发生什么。

1. 应用哈达马门在第一比特上，产生如下的叠加态：
   
   (e^{2*pi*i*0.j~1~} = -1 ,j₁=1; j₁=0 时为1）

2. 应用受控-R₂门，产生状态

3. 接着，应用受控-R₃门，R₄门···R_n门，最终产生状态

4. 类似的，对第2，3···n 比特进行相似的操作。
5. 最终还要使用Swap门（图中省略）将n个状态调换一下，就可以得到与上述推导一致的结果。

参考文献
1.量子计算与量子信息 Nielsen等著.