【数学】 无 中 生 有

$\textsf{平几大典上常有一种题型，你可以一眼看出答案，但是你就是感觉缺点什么！先上几题体验体验：}$平几大典上常有一种题型，你可以一眼看出答案，但是你就是感觉缺点什么！先上几题体验体验：

$\textsf{如图，锐角三角形}ABC,AD=BD,\space \angle BCD = 30\degree ,\space \angle A=60\degree,$如图，锐角三角形ABC,AD=BD, ∠BCD=30°, ∠A=60°,

$\textsf{求证：}\triangle ABC \textsf{为正三角形。}$求证：△ABC为正三角形。

$\textsf{再例如：}$再例如：

$\textsf{如图，}\triangle ABC\textsf{中},AB=BC,\space BP = CP ,\space \angle BAP = 30\degree ,\angle PBA < 60 \degree,$如图，△ABC中,AB=BC, BP=CP, ∠BAP=30°,∠PBA<60°,

$\large\textsf{求证：}\triangle ABC \textsf{为正三角形。}$求证：△ABC为正三角形。

$\textsf{又例如：}$又例如：

$\textsf{如图，锐角三角形}ABC\textsf{中},AD=BD,\space \angle B = 2\angle DCB, \space \angle ACD = 30\degree ,$如图，锐角三角形ABC中,AD=BD, ∠B=2∠DCB, ∠ACD=30°,

$\Large\textsf{求证：}\triangle ABC \textsf{为正三角形。}$求证：△ABC为正三角形。

$\textsf{是不是急疯了？当然，不止这些：}$是不是急疯了？当然，不止这些：

$\textsf{如图，}ABC\textsf{中},AD=BD,\space \angle A = 2\angle B, \space \angle ADC = 60\degree ,$如图，ABC中,AD=BD, ∠A=2∠B, ∠ADC=60°,

$\huge\textsf{求}\angle A.$求∠A.

$\textsf{当然，这还不是最可怕的：}\Large\textsf{这种题没有固定的解法。}$当然，这还不是最可怕的：这种题没有固定的解法。

$\Large\textsf{例如第二题，如果}\angle CAP = 30\degree , \space \angle BAP\textsf{未知，将是完全不同的解法。}$例如第二题，如果∠CAP=30°, ∠BAP未知，将是完全不同的解法。

$\textsf{所以接下来把以上四道题欣赏一下。}$所以接下来把以上四道题欣赏一下。

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$\Large\textsf{【第一题】}$【第一题】

$\small\textsf{2018哈尔滨中考27题第（3）问}$2018哈尔滨中考27题第（3）问

$\small\textsf{兼 《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 19题}$兼 《平几大典——60°与正三角形》 19题

$\textsf{作}D\textsf{关于}BC\textsf{的对称点}F\textsf{，连接}DF\textsf{、}CF;\;\textsf{作}DE \parallel BC \textsf{交}AC \textsf{于} E$作D关于BC的对称点F，连接DF、CF;作DE∥BC交AC于E

$\textsf{则}\angle FCB = \angle DCB = 30\degree ,DC = FC ,$则∠FCB=∠DCB=30°,DC=FC,

$\therefore \triangle DCF\textsf{为正三角形，}\therefore DF = CD ,\;\angle CDF = 60\degree$∴△DCF为正三角形，∴DF=CD,∠CDF=60°

$\because AD = BD ,\;DE \parallel BC ,\;\therefore DE\textsf{为}\triangle ABC \textsf{中位线，}\therefore BD = EC$∵AD=BD,DE∥BC,∴DE为△ABC中位线，∴BD=EC

$\because \angle1 + \angle 2 = 180\degree - \angle A = 120 \degree ,\angle 2 + \angle 3 = 180 \degree - \angle CDF = 120 \degree$∵∠1+∠2=180°−∠A=120°,∠2+∠3=180°−∠CDF=120°

$\therefore \angle 1 = \angle 3\tiny\textsf{（图中}\angle 2\textsf{本来不应该告诉你是90}\degree\textsf{的，但Desmos就这样，没法藏QWQ）}$∴∠1=∠3（图中∠2本来不应该告诉你是90°的，但Desmos就这样，没法藏QWQ）

$\therefore \triangle FBD \cong \triangle DEC \;(SAS)$∴△FBD≅△DEC(SAS)

$\therefore DE = BF = BD = AD$∴DE=BF=BD=AD

$\textsf{又}\because \angle A = 60\degree ,\;\therefore \triangle ADE \textsf{为正三角形，}$又∵∠A=60°,∴△ADE为正三角形，

$\textsf{易得}\triangle ABC\textsf{为正三角形。}$易得△ABC为正三角形。

$\large\textrm{Q.E.D.}$Q.E.D.

$\textsf{注1：本题共26种解法（不包括解析法），在此只展示一种。}$注1：本题共26种解法（不包括解析法），在此只展示一种。

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$\Large\textsf{【第二题】}$【第二题】

$\small\textsf{《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 63题}$《平几大典——60°与正三角形》 63题

$\textsf{作}\triangle APB \textsf{外心，则}Q\textsf{为}\triangle APB\textsf{外接圆圆心},\; AQ = PQ = BQ$作△APB外心，则Q为△APB外接圆圆心,AQ=PQ=BQ

$\textsf{圆周角度数为圆心角一半，}\therefore \angle BQP = 2 \angle BAP = 60\degree$圆周角度数为圆心角一半，∴∠BQP=2∠BAP=60°

$\therefore \triangle BQP \textsf{为正三角形，}\therefore AQ = BQ = PQ = BP = PC$∴△BQP为正三角形，∴AQ=BQ=PQ=BP=PC

$\textsf{又} \because AB = AC ,\; \therefore \triangle AQB \cong \triangle CPB \;(SSS)$又∵AB=AC,∴△AQB≅△CPB(SSS)

$\therefore \angle ABC = \angle QBP = 60\degree ,\therefore \triangle ABC \textsf{为正三角形。}$∴∠ABC=∠QBP=60°,∴△ABC为正三角形。

$\large\textrm{Q.E.D.}$Q.E.D.

$\textsf{注：本题共两种解法，在此只展示一种。}$注：本题共两种解法，在此只展示一种。

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$\Large\textsf{【第三题】}$【第三题】

$\small\textsf{《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 76题}$《平几大典——60°与正三角形》 76题

$\textsf{请回我们的老朋友：}\color{#FF4B2B}\textsf{二倍角三折腰!}$请回我们的老朋友：二倍角三折腰!

$\color{#FF4B2B}\tiny\textsf{不知道的赶紧戳这！}$不知道的赶紧戳这！

$\textsf{作}\color{#FF4B2B}BD-DE-EC\textsf{三折腰}\color{black}\textsf{；作}EF\perp CD \textsf{于}F,\;DG \perp AC \textsf{于}G$作BD−DE−EC三折腰；作EF⊥CD于F,DG⊥AC于G

$\textsf{则}AD = BD = DE = EC , \;DF = CF$则AD=BD=DE=EC,DF=CF

$\textsf{又}\because \angle DGC = 90\degree , \angle DCG = 30\degree ,\;\therefore DG = \frac{1}{2} DC = DF$又∵∠DGC=90°,∠DCG=30°,∴DG=21​DC=DF

$\therefore \triangle ADG \cong \triangle EDF\;(HL)$∴△ADG≅△EDF(HL)

$\therefore \angle ADG = \angle EDF = \alpha$∴∠ADG=∠EDF=α

$\because \angle ADE = \angle B + \angle BED = 4\alpha$∵∠ADE=∠B+∠BED=4α

$\textsf{且}\angle ADE = \angle ADG + \angle GDC + \angle EDF = 2\alpha + 60\degree$且∠ADE=∠ADG+∠GDC+∠EDF=2α+60°

$\therefore 4\alpha = 2\alpha +60 \degree ,\;\alpha = 30\degree$∴4α=2α+60°,α=30°

$\therefore \angle B = \angle A = 60\degree ,\;\therefore \triangle ABC \textsf{为正三角形。}$∴∠B=∠A=60°,∴△ABC为正三角形。

$\large\textrm{Q.E.D.}$Q.E.D.

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$\Large\textsf{【第四题】}$【第四题】

$\small\textsf{《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 228题}$《平几大典——60°与正三角形》 228题

$\textsf{以}CD\textsf{为边向下作正}\triangle CDE ,\;\textsf{连接}BE$以CD为边向下作正△CDE,连接BE

$\textsf{易得}AD = BD , CD = ED = CE$易得AD=BD,CD=ED=CE

$\textsf{又}\because \angle EDB = 180 \degree - \angle ADC - \angle CDE = 60\degree = \angle ADC$又∵∠EDB=180°−∠ADC−∠CDE=60°=∠ADC

$\therefore \triangle ADC \cong \triangle BDE \;(SAS)$∴△ADC≅△BDE(SAS)

$\therefore \angle EBD = \angle CAD = 2 \alpha ,\;\angle DBC = \angle EBC = \alpha$∴∠EBD=∠CAD=2α,∠DBC=∠EBC=α

$\because \angle ADC= \angle ECD = 60\degree,\;\therefore AB \parallel CE,\;\therefore \angle ECB = \angle CBD = \alpha = \angle EBC ,$∵∠ADC=∠ECD=60°,∴AB∥CE,∴∠ECB=∠CBD=α=∠EBC,

$\therefore BE = CE = DE = CD = BE = AE .$∴BE=CE=DE=CD=BE=AE.

$\large\textsf{易得}\triangle A\textsf{为正三角形，}\angle A = 60 \degree .$易得△A为正三角形，∠A=60°.

$\textsf{注：本题共6种解法，在此只展示一种。}$注：本题共6种解法，在此只展示一种。

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$\Large\texttt{【总结】}$【总结】

$\textsf{娱乐性：}\Large\star\star\star\star\star$娱乐性：⋆⋆⋆⋆⋆

$\textsf{实用性：}\Large \star$实用性：⋆

$\textsf{中考考到的可能性：} 0$中考考到的可能性：0

$\textsf{适用范围：}\color{grey}\textsf{【?】}$适用范围：【?】

$\small\textsf{题目可以通过排列组合变幻出很多，实在有趣XD}$题目可以通过排列组合变幻出很多，实在有趣XD

$\small\textsf{但也是仅当体验数学乐趣时使用吧qwq}$但也是仅当体验数学乐趣时使用吧qwq

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附录：

1.画图软件：Desmos
（ 几何区 ）

2.参考资料：《平几大典——60与正三角形》

3.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）