马尔萨斯人口模型

1798年，马尔萨斯在《人口论》中提出：人口按几何级数增长而生活资源只能按算术级数增长，所以不可避免地要导致饥馑、战争和疾病。几百年过去了，马尔萨斯人口学模型至今仍可以给我们许多启示

Population growth is exponential while the growth of the food supply was expected to be arithmetical

​ –Thomas Robert Malthus

Malthus Population Growth Model 马尔萨斯人口增长模型：

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} \propto p$dtdp​∝p

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=(b-d)p$dtdp​=(b−d)p

p ：人口数量；b：人口增长率；d：死亡率

解微分方程

$\int \frac{1}{p}\mathrm{d}p=\int(b-d)\mathrm{d}t$∫p1​dp=∫(b−d)dt

$lnp=(b-d)t$lnp=(b−d)t

可得：

$p=p(0)e^{(b-d)t}$p=p(0)e(b−d)t

P(0)表示初始值，即 t=0 这个模型正是本章开头马尔萨斯提出的理论，人口是指数爆炸级增长的

事实上，用这个模型来描述生物界物种增长是不合理的，因为自然界的生物在数量的增长过程中会受到资源短缺，种内竞争等因素的限制，数量不可能无限增长，数学模型建立好后是要根据实际情况不断修正的，那么我们如何改进马尔萨斯的模型呢？

Logistic Model –模型的改进

这里我们考虑自然资源和种内竞争等因素对生物数量增长的影响

为了使模型简化：我们需要做一个假设

因为资源短缺、种内竞争的存在, 净增长率 （b-d）不可能为常数，而是一个随着种群数量增长下降的状态，我们设 $(b-d)=r$(b−d)=r，即

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=rp$dtdp​=rp, 我们将通过重新定义变量 $r$r 来修正马尔萨斯模型

Assumption：假设净增长率 $r$r随着种群数量 $p$p 呈线性关系

$r = ap + b$r=ap+b

a、b 都是常数，结合实际情况，我们可以求出这两个常数, 注意这里 $r$r 是关于 $p$p的函数： $r(p)$r(p)

• 注意到初始状态下，增长率是 $(b-d)= r$(b−d)=r , 所以有：$r(0)= r$r(0)=r

• 当种群数量达到最大，即此时自然环境最为恶劣，种群不再增长, 所以有：$r(k)= 0$r(k)=0

  这里 $k$k指得是环境能容纳种群的最大数量，Capacity

由上述两个条件可以用待定系数法解出常数 $a$a , $b$b

$a=-\frac{k}{r}$a=−rk​, $b=r$b=r

所以：

$r(p) = r-\frac{r}{k}p$r(p)=r−kr​p

将其代入马尔萨斯模型中：

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}= (r-\frac{r}{k}p)p$dtdp​=(r−kr​p)p

把 $r$r 提出来, 得到 Logistic Model

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=r p (1-\frac{p}{k})$dtdp​=rp(1−kp​)

解微分方程：

$\frac{1}{p(1-p/k)}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = r$p(1−p/k)1​dtdp​=r
$\int \frac{1}{p(1-p/k)}\mathrm{d}p = \int r \mathrm{d}t$∫p(1−p/k)1​dp=∫rdt
$\int \frac{1}{p}-\frac{1}{k-p} \mathrm{d}p =\int b\mathrm{d}t$∫p1​−k−p1​dp=∫bdt
$log(p) - log(k-p)=bt+C$log(p)−log(k−p)=bt+C
$log(\frac{p}{k-p})=bt+log(\frac{p(0)}{k-p(0)})$log(k−pp​)=bt+log(k−p(0)p(0)​)
$\frac{p}{k-p}=\frac{p(0)}{k-p(0)}e^{bt}$k−pp​=k−p(0)p(0)​ebt
$(k-p(0))p(t)=(k-p(t))p(0)e^bt$(k−p(0))p(t)=(k−p(t))p(0)ebt

所以
$p(t)=\frac{p(0)ke^{kt}}{k+p(0)(e^{kt}-1)}$p(t)=k+p(0)(ekt−1)p(0)kekt​

通过分离变量，我们求得了 logistics Model 的解，其中 $p(0)$p(0) 表示初始值

通过模型的求解，我们可以得到一个函数图像：

通过函数图像我们分析出模型增长特点：

• 最开始时增长很慢
• 之后增长率逐渐呈现指数形式
• 最后增长趋于缓慢，就像对数函数（Logarithm）一样

所以：自然界中符合这种形式的增长，都可以叫做 Logistic 模型；

模型的应用：

Logistic 模型可以反应很多自然规律，并且比指数增长模型更具描述性：
例如，它们可以用来为创新过程建模:设想一下，在创新的早期阶段，当创新初期，是几乎看不到增长；随后，大量的研究和开发工作完成，该行业也大致呈指数级增长；最后，在后期，当市场上有多个竞争对手时，“最简单”的改进已经完成，创新速度明显放缓，接近某个极限值。

Logistics 模型在医学，化学，生态学，语言学，机器学习等众多领域有着更加深入的应用，似乎大量的自然现象都可以用这种形式的增长来描述。