佩尔方程

文章目录

• 佩尔方程
• 1 定义
• 2 佩尔方程的历史
• 2.1 阿基米德牛群问题
• 2.2 三个重要的历史人物
• 3 佩尔方程定理
• 4 参考资料

佩尔方程

1 定义

  在三角平方数中。我们找到了方程：
$x^2-2y^2=1$x2−2y2=1
正整数解的完美描述。其实这个方程就是佩尔方程的一个特例。

  佩尔方程是具有形式：
$x^2-Dy^2=1$x2−Dy2=1
的方程，其中$D$D是一个固定的正整数并且不是完全平方数。

2 佩尔方程的历史

2.1 阿基米德牛群问题

  佩尔方程有着悠久的历史，它首次被记载在”阿基米德牛群问题“中，下面是这个问题的描述。
  太阳神有一个由公牛和母牛组成的牛群其中一部分是白牛，一部分是黑牛，一部分是花牛，其余的都是棕色的牛。
在公牛中
白牛的数量比棕色的牛多黑牛的二分之一加三分之一;
黑牛的数量比棕色的牛多花牛的四分之一加五分之一;
花牛的数量比棕色的牛多白牛的六分之一加七分之一 。
在母牛中
白牛的数量是所有黑牛的三分之一加四分之一;
黑牛的数量是所有花牛的四分之一加五分之一;
花牛的数量是所有棕色牛的五分之一加六分之一;
棕色的牛的数量是所有白牛的六分之一加七分之一 。
问： 这群牛总共有多少头?各种颜色的牛分别是多少头?

  Bovinum进一步问（简称Bovinum问题）：如果白色公牛和黑色公牛放在一起，其数量
刚好是一个完全平方数;把棕色的牛和花牛放在 一 起 ，其数量正好是一个三角数 ，则这群牛共有多少头?

  这个问题吸引了许多专家、数学家的兴趣。经过一系列计算，这一问题最终简化成求解佩尔方程：
$x^2-4729494y^2=1$x2−4729494y2=1
最小解由Amthor最先于1880年确定，其中$y$y含有$41$41位数。

2.2 三个重要的历史人物

  时光飞逝，求解佩尔方程的第一个重要进展出现于印度。

  婆罗摩笈多（Brahmagupta，598–670）：婆罗摩笈多是同时代印度最著名的数学家之一，他最著名的著作是写于公元628年的《Brahmasphutasiddhanta》（宇宙的开始）。这本非同寻常的书中包含了对形如$x^2-Dy^2=A$x2−Dy2=A的方程，特别是”佩尔“方程$x^2-Dy^2=1$x2−Dy2=1的讨论。婆罗摩笈多描述了一种用已知解创造新解的混合方法，他将该方法称为samasa，他还给出了一个（有时）能得到初始解的算法。

  婆什伽罗（Bhaskaracharya，1114–1185）：推广了婆罗摩笈多关于佩尔方程的工作，他描述了一个通过对原始近似解反复约化而得到真解的方法。婆什伽罗称自己的方法为chakravala。现在，这种类型的论证被称为”费马递降法“。婆什伽罗通过解$x^2-61y^2=1$x2−61y2=1说明了他的方法，这比费马用此方程向他人挑战早了500年。

  布朗克尔（William Brouncker）描述了求解佩尔方程的一般方法，布朗克尔为了说明他的方法的有效性，仅用几个小时就求出方程：
$x^2-313y^2=1$x2−313y2=1
的最小平凡解
$(32188120829134849,1819380158564160)$(32188120829134849,1819380158564160)

  沃利斯和费马都断言佩尔方程总是有解的。有趣的是，欧拉错误地认为沃利斯书中的方法属于另一位英国数学家佩尔，并且正是欧拉将这个方程称为我们目前所熟知的”佩尔方程“。这个误解使佩尔获得了不朽的数学名声。为了有利于澄清历史，”佩尔方程“的一个更好的名称应该为”$B^3$B3方程“，以此纪念这三位姓氏以$B$B开头的数学家。

3 佩尔方程定理

  假设我们可以求出佩尔方程
$x^2-Dy^2=1$x2−Dy2=1
的一个解$(x_1,y_1)$(x1​,y1​)，则可以利用三角平方数中对$D=2$D=2所描述的同样方法来产生一个新的解。

  将已知解因式分解为：
$1=x_1^2-Dy_1^2=(x_1+y_1\sqrt D)(x_1-y_1\sqrt D)$1=x12​−Dy12​=(x1​+y1​D​)(x1​−y1​D​)
两边同时平方便得到一个新的解：

$\begin{aligned} 1=1^2&=(x_1+y_1\sqrt D)^2(x_1-y_1\sqrt D)^2\\ &=((x_1^2+y_1^2D)+2x_1y_1\sqrt D)((x_1^2+y_1^2D)-2x_1y_1\sqrt D)\\ &=(x_1^2+y_1^2D)^2-(2x_1y_1)^2D \end{aligned}$1=12​=(x1​+y1​D​)2(x1​−y1​D​)2=((x12​+y12​D)+2x1​y1​D​)((x12​+y12​D)−2x1​y1​D​)=(x12​+y12​D)2−(2x1​y1​)2D​
也就是说：
$(x_1^2+y_1^2D,2x_1y_1)$(x12​+y12​D,2x1​y1​)
是一个新解。取$3,4,\cdots$3,4,⋯次幂可以得到任意多个解。

  不过还有两个很麻烦的问题：

• 每个佩尔方程都有解吗？
• 假定每个佩尔方程确实有解，是否每个解都可通过对最小解取幂而得到？

佩尔方程定理回答了这两个问题。

  佩尔方程定理（证明略）：设$D$D是一个正整数且不是完全平方数，则佩尔方程：
$x^2-Dy^2=1$x2−Dy2=1
总有正整数解，如果$(x_1,x_2)$(x1​,x2​)是使$x_1$x1​最小的解，则每个解$(x_k, y_k)$(xk​,yk​)可通过取幂得到：
$x_k+y_k\sqrt D=(x_1 + y_1\sqrt D)^k,k=1,2,3,\cdots$xk​+yk​D​=(x1​+y1​D​)k,k=1,2,3,⋯

  下图列出了所有$D\le 75$D≤75的佩尔方程的最小解，有趣的是，有时候最小解相当小，有时候最小解有很巨大。关于何时最小解真的很小，何时最小解很大的问题，还没有已知的模式，已经知道方程$x^2-Dy^2=1$x2−Dy2=1的最小解$(x,y)$(x,y)满足$x\lt 2^D$x<2D，但这显然不是一个很好的估计~

4 参考资料

[1]《数论概论》第四版P167-P170
[2] 王念良, 杨全, 王辉. 关于阿基米德牛群问题及与之有关的Pell方程[J]. 商洛学院学报, 2011(04):5-7.