计算性和复杂度理论2

本文主要是关于图灵可确定，不可确定问题和半确定问题等
本文中可确定或不可确定也翻译为可决定，不可决定，这里我统一用可确定与不可确定

文章目录

• 预备知识
• • 可数与不可数集合
  • • 可数集合
    • 符号
    • 不可数聚合
    • • 定理：自然数集的幂集 P ( N ) \mathcal{P}(\mathbb{N}) P(N)是不可数的
      • 证明：反证法
• 不可确定问题
• • 对角线语言
  • • 定理：对角线语言 D D D是不可确定的
    • 证明：反证法
  • 对角线语言补集的不可确定性
  • • 定理：对角线语言补集 D ˉ \bar D Dˉ是不可确定的
    • 证明：反证法
  • 子程序技术
  • 停机问题
  • • 定理：停机问题H是不可确定的
    • 证明：子程序
  • ϵ \epsilon ϵ-停机问题
  • • 定理： ϵ \epsilon ϵ-停机问题 H ϵ H_\epsilon Hϵ​是不可确定的
    • 证明：子程序技术
  • 莱斯定理
  • • 定理内容：
    • 证明： M L ( S ) M_{L(\mathcal{S})} ML(S)​作为 M ϵ M_\epsilon Mϵ​的子程序
  • 封闭性
• 递归可枚举性与归约
• • 递归可枚举性
  • • 定理：一个语言L是递归可枚举的，当且仅当L是半可确定的
    • 证明：
    • • 递归可枚举 → \rightarrow →半可确定
      • 半可确定 → \rightarrow →递归可枚举
    • 封闭性
    • • 引理：
      • H ˉ \bar H Hˉ和 H ˉ ϵ \bar H_\epsilon Hˉϵ​不是递归可枚举的
    • 可计算性语言分类
  • 归约
  • • 完全停机问题
    • • H ˉ ϵ ≤ H ˉ t o t \bar H_\epsilon \le \bar H_{tot} Hˉϵ​≤Hˉtot​
      • H ˉ ϵ ≤ H t o t \bar H_\epsilon \le H_{tot} Hˉϵ​≤Htot​

预备知识

可数与不可数集合

可数集合

可数集合：一个集合 M M M称为可数的，当 M M M是空的，或者当有一个满射的函数 c : N → M c:\mathbb{N}\rightarrow M c:N→M存在

1. 每一个可数集合的元素都可以被枚举出来
2. 每一个有限集合都是可数的
3. 对于一个可数的无限集合都存在一个双射函数 c : N → M c:\mathbb{N}\rightarrow M c:N→M
4. 所有可数的无限集合和自然数集合 N \mathbb{N} N等势

可数集合举例：

1. 有限字母集合 Σ \Sigma Σ所有构成的词的集合 Σ ∗ \Sigma^* Σ∗，例如： { 0 , 1 } ∗ \{0,1\}^* {0,1}∗在卡农顺序下可以枚举为：

ϵ , 0 , 1 , 00 , 01 , 10 , 11 , 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , . . . \epsilon,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,... ϵ,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,...

2. 哥德尔数Gödelnummer的集合。因为Gödelnummer的词是关于子母集合{0,1}的
3. 所有图灵机的集合。因为每个图灵机都可以通过一个Gödelnummer表示

符号

对于二维字母集合 Σ = { 0 , 1 } \Sigma=\{0,1\} Σ={0,1}我们将在卡农顺序下的第i个词表示为 w i w_i wi​

对于第i个卡农顺序下的图灵机Gödelnummer我们记为 M i M_i Mi​

不可数聚合

定理：自然数集的幂集 P ( N ) \mathcal{P}(\mathbb{N}) P(N)是不可数的

证明：反证法

1. 假设 P ( N ) \mathcal{P}(\mathbb{N}) P(N)是可数的

2. 那么令 S 0 , S 1 , S 2 , S 3 , . . . S_0,S_1,S_2,S_3,... S0​,S1​,S2​,S3​,...为一个 P ( N ) \mathcal{P}(\mathbb{N}) P(N)的枚举

3. 我们定义一个二维无限的邻接矩阵 ( A i , j ) i , j ∈ N (A_{i,j})_{i,j\in \mathbb{N}} (Ai,j​)i,j∈N​

A i , j = { 1 如 果 j ∈ S i 0 其 他 A_{i,j}= \begin{cases} 1& \quad 如果j\in S_i\\ 0& \quad 其他 \end{cases} Ai,j​={10​如果j∈Si​其他​

上述两行分别定义对角线集合 S d i a g S_{diag} Sdiag​和其补集 S ˉ d i a g \bar S_{diag} Sˉdiag​

注：对角线集合 S d i a g S_{diag} Sdiag​和其补集 S ˉ d i a g \bar S_{diag} Sˉdiag​都是自然数集合的子集，因此在 P ( N ) \mathcal{P}(\mathbb{N}) P(N)存在一个元素 S k , k ∈ N S_k,k\in\mathbb{N} Sk​,k∈N使得 S ˉ d i a g = S k \bar S_{diag} = S_k Sˉdiag​=Sk​

现在有两种情况，都可以导致矛盾：

第 一 种 情 况 ： A k , k = 1 ⇒ D e f . S ˉ d i a g k ∉ S ˉ d i a g ⇒ k ∉ S k ⇒ D e f . A A k , k = 0 第一种情况： A_{k,k} = 1\overset{Def. \bar S_{diag}}\Rightarrow k\notin \bar S_{diag} \Rightarrow k\notin S_k \overset{Def. A}\Rightarrow A_{k,k}=0 第一种情况：Ak,k​=1⇒Def.Sˉdiag​k∈/​Sˉdiag​⇒k∈/​Sk​⇒Def.AAk,k​=0
第 二 种 情 况 ： A k , k = 0 ⇒ D e f . S ˉ d i a g k ∈ S ˉ d i a g ⇒ k ∈ S k ⇒ D e f . A A k , k = 1 第二种情况： A_{k,k} = 0\overset{Def. \bar S_{diag}}\Rightarrow k\in \bar S_{diag} \Rightarrow k\in S_k \overset{Def. A}\Rightarrow A_{k,k}=1 第二种情况：Ak,k​=0⇒Def.Sˉdiag​k∈Sˉdiag​⇒k∈Sk​⇒Def.AAk,k​=1

所以不存在 P ( N ) \mathcal{P}(\mathbb{N}) P(N)的枚举，因此不可数

不可确定问题

对角线语言

定义： D = { w ∈ { 0 , 1 } ∗ ∣ w = w i 且 M i 不 接 受 w } D=\{w\in\{0,1\}^*|w=w_i且M_i不接受w\} D={w∈{0,1}∗∣w=wi​且Mi​不接受w}

换句话说：第i个词 w i w_i wi​（卡农顺序下对于 { 0 , 1 } ∗ \{0,1\}^* {0,1}∗）在对角线语言D中，当且仅当第i个图灵机 M i M_i Mi​（在卡农顺序下的Gödelnummer）不接受这个词 w i w_i wi​。

注：这里图灵机 M i M_i Mi​不接受 w w w有两种情况：1.图灵机 M i M_i Mi​拒绝了 w w w；2.图灵机 M i M_i Mi​对于输入 w w w不停

定理：对角线语言 D D D是不可确定的

证明：反证法

假设对角线语言D是可确定的，则存在一个 M j M_j Mj​，可以确定D

对角线语言补集的不可确定性

相似的，对角线补集的定义为 D ˉ = { w ∈ { 0 , 1 } ∗ ∣ w = w i 且 M i 接 受 w } \bar D=\{w\in\{0,1\}^*|w=w_i且M_i接受w\} Dˉ={w∈{0,1}∗∣w=wi​且Mi​接受w}

定理：对角线语言补集 D ˉ \bar D Dˉ是不可确定的

证明：反证法

假设 D ˉ \bar D Dˉ是可确定的，那么存在一个图灵机 M D ˉ M_{\bar D} MDˉ​，确定 D ˉ \bar D Dˉ。可以用图灵机 M D ˉ M_{\bar D} MDˉ​构造出可确定对角线语言 D D D的图灵机 M D M_D MD​，造成矛盾。

如下构造：

子程序技术

上面的这个证明过程就用到了子程序技术

其具体方法为：

已经有一个被证明是不可确定的语言L’，要求证一个新的语言L不可确定，只要构造运用一个子程序图灵机 M L M_L ML​（其课确定语言L）的图灵机也可以确定语言L’

观察：

当一个语言 L ⊆ { 0 , 1 } ∗ L\subseteq\{0,1\}^* L⊆{0,1}∗不可确定时，那么他的补集也不可确定

同样的当一个语言 L ⊆ { 0 , 1 } ∗ L\subseteq\{0,1\}^* L⊆{0,1}∗可确定时，那么他的补集也可确定

停机问题

定义： H = { < M > w ∣ M 在 输 入 为 w 的 时 候 能 停 } H = \{<M>w|M在输入为w的时候能停\} H={<M>w∣M在输入为w的时候能停}

注：停机问题是所有图灵机Gödelnummer < M > <M> <M>加上能使他停的词 w w w的集合

定理：停机问题H是不可确定的

证明：子程序

1. 1号子程序根据输入w在卡农顺序下的下标i（也就是找到 w i = w w_i = w wi​=w），然后根据下标i得到 M i M_i Mi​的Gödelnummer
2. 将 < M i > w i <M_i>w_i <Mi​>wi​作为输入进入2号子程序 M H M_H MH​，如果 M i M_i Mi​在w_i处不停机则拒绝，如果停机则接受进入3号子程序。（因为 M H M_H MH​接受 < M i > w i <M_i>w_i <Mi​>wi​只是说明 M i M_i Mi​在输入 w i w_i wi​处停了，接受或拒绝未知，而对于对角线语言补集是只要求能被 M i M_i Mi​接受的语言）
3. 3号子程序通用图灵机模拟 M i M_i Mi​对于输入 w i w_i wi​的运行过程。（因为 M H M_H MH​接受 < M i > w i <M_i>w_i <Mi​>wi​，所以 M i M_i Mi​对于输入 w i w_i wi​会停，当 M i M_i Mi​接受 w i w_i wi​时，通用图灵机 U U U也会接受，反过来也一样）

正确性证明：

需要证明：

1. w ∈ D ˉ ⇒ M D ˉ 接 受 w w \in \bar D \Rightarrow M_{\bar D} 接受w w∈Dˉ⇒MDˉ​接受w
2. w ∉ D ˉ ⇒ M D ˉ 拒 绝 w w \notin \bar D \Rightarrow M_{\bar D} 拒绝w w∈/​Dˉ⇒MDˉ​拒绝w
   

ϵ \epsilon ϵ-停机问题

定义： H ϵ = { < M > w ∣ M 在 输 入 为 ϵ 的 时 候 能 停 } H_\epsilon = \{<M>w|M在输入为\epsilon的时候能停\} Hϵ​={<M>w∣M在输入为ϵ的时候能停}

定理： ϵ \epsilon ϵ-停机问题 H ϵ H_\epsilon Hϵ​是不可确定的

证明：子程序技术

1. 首先判断输入是否是以正确的Gödelnummer开始的，如果不是，则直接拒绝

2. 如果输入格式正确，则用该输入构造一个新的图灵机Gödelnummer < M w ∗ > <M^*_w> <Mw∗​>，该图灵机有以下特征:

   1）如果 M w ∗ M^*_w Mw∗​含有输入 ϵ \epsilon ϵ，那么在运行时，它先将词w写在带子上，之后模拟图灵机M在输入为w的行为（这里是使得w在M上停等价于下面 M ϵ M_\epsilon Mϵ​接受 M w ∗ M^*_w Mw∗​，反之w在M上不停就不接受）

   2）如果输入不是 ϵ \epsilon ϵ，那么就无所谓 M w ∗ M^*_w Mw∗​的行为（因为证明里不需要）。我们可以设定， M w ∗ M^*_w Mw∗​会进入无限循环，也就是不停

3. 最后将Gödelnummer < M w ∗ > <M^*_w> <Mw∗​>作为输入进入图灵机 M ϵ M_\epsilon Mϵ​,然后整个 M H M_H MH​输出接受，当且仅当 M ϵ M_\epsilon Mϵ​接受

正确性证明：

首先如果输入不符合 < M > w <M>w <M>w这个形式的， M H M_H MH​直接拒绝，下面，当输入符合 < M > w <M>w <M>w形式，则需要证明：

< M > w ∈ H ⇒ M H 接 受 < M > w <M>w\in H \quad \Rightarrow \quad M_H 接受<M>w <M>w∈H⇒MH​接受<M>w

< M > w ∉ H ⇒ M H 拒 绝 < M > w <M>w\notin H \quad \Rightarrow \quad M_H 拒绝<M>w <M>w∈/​H⇒MH​拒绝<M>w

莱斯定理

由图灵机计算的偏分方程具有以下形式：

f M : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ ∪ { ⊥ } f_M:\{0,1\}^*\rightarrow \{0,1\}^*\cup\{\bot\} fM​:{0,1}∗→{0,1}∗∪{⊥}

对于确定问题有以下形式：

f M : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 , ⊥ } f_M:\{0,1\}^*\rightarrow \{0,1,\bot\} fM​:{0,1}∗→{0,1,⊥}

其中0表示拒绝，1表示接受， ⊥ \bot ⊥表示不停

定理内容：

令 R \mathcal{R} R是由图灵机计算的所有偏分方程的集合。

令 S \mathcal{S} S是 R \mathcal{R} R的一个子集，且有 ∅ ⊂ S ⊂ R , S ≠ ∅ , S ≠ R \varnothing\subset \mathcal{S}\subset \mathcal{R},\mathcal{S}\ne\varnothing,\mathcal{S}\ne\mathcal{R} ∅⊂S⊂R,S​=∅,S​=R

则语言 L ( S ) = { < M > ∣   M 计 算 一 个 来 自 于 S 的 函 数 } L(\mathcal{S}) =\{<M>|\ M 计算一个来自于\mathcal{S}的函数\} L(S)={<M>∣ M计算一个来自于S的函数}是不可确定的

注：莱斯定理只针对于计算函数的图灵机哥德尔编码，不涉及到图灵机的运行时间，运行内容

证明： M L ( S ) M_{L(\mathcal{S})} ML(S)​作为 M ϵ M_\epsilon Mϵ​的子程序

令u为一般的未定义的函数 u ( w ) ≡ ⊥ u(w)\equiv \bot u(w)≡⊥

u ∉ S u\notin \mathcal{S} u∈/​S

令f是 S \mathcal{S} S里的一个函数

令N是一个计算f的图灵机

1. 如果输入不是由正确的Gödelnummer组成， M ϵ M_\epsilon Mϵ​则拒绝这个输入

2. 否则， M ϵ M_\epsilon Mϵ​则从输入 < M > <M> <M>中计算图灵机 M ∗ M^* M∗的Gödelnummer：

   输入x在 M ∗ M^* M∗上的行为如下：

   1）首先 M ∗ M^* M∗在一个事先设计好的路径(Spur)上模拟图灵机M在输入为 ϵ \epsilon ϵ时的行为（如果M不停机，那么 M ∗ M^* M∗就也不停机，那也就是计算的是 u （ w ） ≡ ⊥ u（w）\equiv \bot u（w）≡⊥，那么在之后 M L ( S ) M_{L(\mathcal{S})} ML(S)​肯定会输出拒绝）

   2）之后 M ∗ M^* M∗模拟图灵机N在输入为x的行为。一旦N停下来，那么 M ∗ M^* M∗也就停下来，并且将N的输出作为 M ∗ M^* M∗的输出。（这里指当输入 ϵ \epsilon ϵ在M上停机了，那么运行N，输入为x，输出自然就是f（x））

3. 最后将 < M ∗ > <M^*> <M∗>作为输入进入图灵机 M L ( S ) M_{L(\mathcal{S})} ML(S)​中。我们接受当且仅当 M L ( S ) M_{L(\mathcal{S})} ML(S)​接受。

正确性证明：

封闭性

当语言L是可确定的，那么它的补集 Σ ∗ − L \Sigma^*-L Σ∗−L也是可确定的

当两个语言 L 1 L_1 L1​和 L 2 L_2 L2​是可确定的，则

1. L 1 ∩ L 2 L_1\cap L_2 L1​∩L2​可确定
2. L 1 ∪ L 2 L1\cup L_2 L1∪L2​可确定

可确定的语言集合在交并补下面是封闭的

递归可枚举性与归约

一个语言L被一个图灵机M所确定，当

1. 对于任何一个输入M都会停
2. M只接受来自于L里的词

一个语言L会被一个图灵机所识别，当

1. M接受所有来自于L里的词
2. M不接受任何一个不是L里的词

当存在一个图灵机，其可以识别L，那么则称这个语言L是半可确定的（semi-entscheidbar）

递归可枚举性

一个枚举器对于一个语言 L ⊆ Σ ∗ L\subseteq\Sigma^* L⊆Σ∗是一个图灵机的变种，其连接着一个打印机

这个打印机是一个额外的输出带，读取头只能在这个带上向右移动且只能进行写操作。

1. 枚举器会由空的工作带开始，并且随着时间会输出来自于L里的所有单词到打印机上
2. 输出的词会被一个不来自于 Σ \Sigma Σ分隔符分开
3. 枚举器只打印来自于L里的单词

定义：当一个语言L有一个枚举器时，则称L是递归可枚举的

定理：一个语言L是递归可枚举的，当且仅当L是半可确定的

证明：

递归可枚举 → \rightarrow →半可确定

假设L是递归可枚举的且A为其枚举器。如下方式构造一个图灵机M，使其识别语言L：

• 在一条带上模拟这个枚举器A，并把结果输出到带子上（就是接管了打印机的功能）

• 每当有一个单词在带子上打印出来之后，图灵机M就比较这个单词和w，并且当相等时u，输出接受。

正确性：

• 当 w ∈ L w\in L w∈L，则在某一时刻， w w w必然会被打印出来，那么这时候M会输出接受

• 当 w ∉ L w\notin L w∈/​L，则w永远都不会被打印出来，M就会不停也就不会输出接受

半可确定 → \rightarrow →递归可枚举

假设L是半可确定的且被图灵机M所识别。如下方式构造一个枚举器A给语言L：

注：因为目的是要将能被图灵机M接受的词输出打印出来，但是对于某些词，M可能无限不停机。因此我们模拟是只运行固定步骤，然后采用多轮次进行模拟，每轮多模拟一个词，这样就解决了无限多个词语无限多步的冲突

在第k轮里（k=1,2,3,…）

• 枚举器A用图灵机M模拟 w 1 , w 2 , . . . , w k w_1,w_2,...,w_k w1​,w2​,...,wk​中每个词，并且每个词只运行k步

• 在模拟过程中每当M接受了某个词，那么枚举器A就会把这个词打印出来

正确性：

很明显，构造出来的这个枚举器只接受来自于L的词。那么需要证明该枚举器是否能打印出所有来自L里的单词。

• 令 w i w_i wi​是语言L中的一个单词。那么 w i w_i wi​会被图灵机M在有限步骤 t i t_i ti​时接受
• 所以，k轮过后（ k ≥ m a x { i , t i } k\ge \mathbb{max}\{i,t_i\} k≥max{i,ti​}）， w i w_i wi​在每一轮都会被打印出来

封闭性

当两个语言 L 1 L_1 L1​和 L 2 L_2 L2​是递归可枚举的，则

1. L 1 ∩ L 2 L_1\cap L_2 L1​∩L2​递归可枚举
2. L 1 ∪ L 2 L1\cup L_2 L1∪L2​递归可枚举

引理：

当一个语言 L ⊆ Σ ∗ L\subseteq\Sigma^* L⊆Σ∗和其补集 L ˉ : = Σ ∗ − L \bar L:=\Sigma^*-L Lˉ:=Σ∗−L都是递归可枚举时，则 L L L是可确定的

用子程序技术即可证明这个引理

H ˉ \bar H Hˉ和 H ˉ ϵ \bar H_\epsilon Hˉϵ​不是递归可枚举的

证：因为停机问题H是递归可枚举的，当 H ˉ \bar H Hˉ也是递归可枚举的，则根据上述引理可推出停机问题是可确定的。然而事实是停机问题不可确定，所以 H ˉ \bar H Hˉ不是递归可枚举的。

同理 H ˉ ϵ \bar H_\epsilon Hˉϵ​不是递归可枚举的。

可计算性语言分类

观察：每一个语言L都属于以下四个类别里中的一个

1. L可确定的（L和 L ˉ \bar L Lˉ都是递归可枚举的）
2. L L L是递归可枚举的，而 L ˉ \bar L Lˉ不是
3. L ˉ \bar L Lˉ是递归可枚举的，而 L L L不是
4. L L L和 L ˉ \bar L Lˉ都不是递归可枚举的

归约

定义：令 L 1 L_1 L1​和 L 2 L_2 L2​是两个关于字母集 Σ \Sigma Σ的语言。我们称 L 1 L_1 L1​在 L 2 L_2 L2​上可归约的（ L 1 ≤ L 2 L_1\le L_2 L1​≤L2​），当存在一个可计算的函数 f : Σ ∗ → Σ ∗ f: \Sigma^*\rightarrow \Sigma^* f:Σ∗→Σ∗，使得对于所有的 x ∈ Σ ∗ x\in \Sigma^* x∈Σ∗满足： x ∈ L 1 ⇔ f ( x ) ∈ L 2 x\in L_1 \Leftrightarrow f(x)\in L_2 x∈L1​⇔f(x)∈L2​.

即 x ∈ L 1 ⇒ f ( x ) ∈ L 2 ; x ∉ L 1 ⇒ f ( x ) ∉ L 2 x \in L_1 \Rightarrow f(x)\in L_2;x\notin L_1 \Rightarrow f(x)\notin L_2 x∈L1​⇒f(x)∈L2​;x∈/​L1​⇒f(x)∈/​L2​

定理：如果两个语言 L 1 ≤ L 2 L_1\le L_2 L1​≤L2​

• L 2 L_2 L2​可确定的 ⇒ \quad \Rightarrow \quad ⇒$ L_1$可确定的

• L 2 L_2 L2​递归可枚举的 ⇒ \quad \Rightarrow \quad ⇒ L 1 L_1 L1​递归可枚举的

• L 1 L_1 L1​不可确定的 ⇒ \quad \Rightarrow \quad ⇒$ L_2$不可确定的

• L 1 L_1 L1​不是递归可枚举的 ⇒ \quad \Rightarrow \quad ⇒ L 2 L_2 L2​不是递归可枚举的

使用子程序技术即可证明：

完全停机问题

定义： H t o t = { < M > ∣ M 在 每 一 个 输 入 都 会 停 } H_{tot} = \{<M>|M在每一个输入都会停\} Htot​={<M>∣M在每一个输入都会停}

就是 H t o t H_{tot} Htot​里的图灵机不存在对于某个输入会不停

定理： H ˉ t o t \bar H_{tot} Hˉtot​和 H t o t H_{tot} Htot​都不是递归可枚举的

证明：

已知 H ˉ ϵ \bar H_\epsilon Hˉϵ​不是递归可枚举的，那么需要证：

• H ˉ ϵ ≤ H ˉ t o t \bar H_\epsilon \le \bar H_{tot} Hˉϵ​≤Hˉtot​
• H ˉ ϵ ≤ H t o t \bar H_\epsilon \le H_{tot} Hˉϵ​≤Htot​

H ˉ ϵ ≤ H ˉ t o t \bar H_\epsilon \le \bar H_{tot} Hˉϵ​≤Hˉtot​

构造一个可计算的函数 f f f，使得对于 x ∈ Σ ∗ x\in \Sigma^* x∈Σ∗有 x ∈ H ˉ ϵ → f ( x ) ∈ H ˉ t o t ; x ∉ H ˉ ϵ → f ( x ) ∉ H ˉ t o t \quad x\in \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\in \bar H_{tot};\quad x\notin \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\notin \bar H_{tot} x∈Hˉϵ​→f(x)∈Hˉtot​;x∈/​Hˉϵ​→f(x)∈/​Hˉtot​，构造方式如下：

令 w w w是 H ˉ ϵ \bar H_\epsilon Hˉϵ​的一个输入

• 当 w w w不是哥德尔数时，直接令 f ( w ) = w f(w) = w f(w)=w

• 当 w = < M > w=<M> w=<M>对于一个图灵机M，则令 f ( w ) : = < M ϵ ∗ > f(w):=<M_\epsilon^*> f(w):=<Mϵ∗​>是图灵机 M ϵ ∗ M_\epsilon^* Mϵ∗​的哥德尔数，并且该图灵机有以下行为：

  M ϵ ∗ M_\epsilon^* Mϵ∗​忽略它的输入直接模拟M在输入为 ϵ \epsilon ϵ时的行为

正确性证明：

1. w ∈ H ˉ ϵ ⇒ f ( w ) ∈ H ˉ t o t w\in \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\in \bar H_{tot} w∈Hˉϵ​⇒f(w)∈Hˉtot​

2. w ∉ H ˉ ϵ ⇒ f ( w ) ∉ H ˉ t o t w\notin \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\notin \bar H_{tot} w∈/​Hˉϵ​⇒f(w)∈/​Hˉtot​

首先当w不是哥德尔数时，满足 w ∈ H ˉ ϵ w\in \bar H_\epsilon w∈Hˉϵ​和 f ( w ) ∈ H ˉ t o t f(w)\in \bar H_{tot} f(w)∈Hˉtot​

当 w = < M > w=<M> w=<M>是一个图灵机的哥德尔数时，

H ˉ ϵ ≤ H t o t \bar H_\epsilon \le H_{tot} Hˉϵ​≤Htot​

构造一个可计算的函数 f f f，使得对于 x ∈ Σ ∗ x\in \Sigma^* x∈Σ∗有 x ∈ H ˉ ϵ → f ( x ) ∈ H t o t ; x ∉ H ˉ ϵ → f ( x ) ∉ H t o t \quad x\in \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\in H_{tot};\quad x\notin \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\notin H_{tot} x∈Hˉϵ​→f(x)∈Htot​;x∈/​Hˉϵ​→f(x)∈/​Htot​，构造方式如下：

令 w w w是 H ˉ ϵ \bar H_\epsilon Hˉϵ​的一个输入。令 w ′ w' w′是来自于 H t o t H_{tot} Htot​的任意一个输入。

• 当w不是一个有效的哥德尔数时，令 f ( w ) = w ′ f(w) = w' f(w)=w′

• 当 w = < M > w=<M> w=<M>是一个有效的哥德尔数时，则令 f ( w ) : = < M ′ > f(w):=<M'> f(w):=<M′>，图灵机 M ′ M' M′在长度为 l l l的输入x时如下运行：

  首先 M ′ M' M′模拟在 l l l步骤内模拟输入 ϵ \epsilon ϵ在M上面的行为。当M在这 l l l步内停下来，那么 M ′ M' M′就进入无线循环；否则M没有在这 l l l步内停下来则 M ′ M' M′停止

正确性证明：

1. w ∈ H ˉ ϵ ⇒ f ( w ) ∈ H t o t w\in \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\in H_{tot} w∈Hˉϵ​⇒f(w)∈Htot​

2. w ∉ H ˉ ϵ ⇒ f ( w ) ∉ H t o t w\notin \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\notin H_{tot} w∈/​Hˉϵ​⇒f(w)∈/​Htot​

首先当w不是哥德尔数时，满足 w ∈ H ˉ ϵ w\in \bar H_\epsilon w∈Hˉϵ​和 f ( w ) = w ′ ∈ H t o t f(w) = w'\in H_{tot} f(w)=w′∈Htot​

当 w = < M > w=<M> w=<M>是一个图灵机的哥德尔数时，