二叉树的一般性质

前言
座右铭：talk is easy,show me the code.
我们生活在幸福的时代，我们都站在巨人的肩膀上看世界

二叉树的一般性质

• 简介二叉树
• 二叉树的定义
• 二叉树的性质
• 性质1
• 性质二
• 性质三
• 满二叉树和完全二叉树
• 满二叉树
• 完全二叉树
• 完全二叉树和满二叉树的关系

简介二叉树

二叉树的定义

（1）每个节点的度不可大于2
（2）每个节点孩子次序不能颠倒

二叉树的性质

性质1

二叉树的第i层至多有$2^{i-1}$2i−1个结点
因为二叉树中每个节点的度最大为2，第一层为节点1
则第i层节点数量=$2^{i-1}$2i−1个结点

性质二

深度为i的二叉树最多有$2^{i}-1$2i−1个结点
利用等差数列的公式即可求得：${2-(2^{i}-1) \over 1-2}$1−22−(2i−1)​=$2^{i}-1$2i−1

性质三

$对于任意一颗二叉树，若叶子节点数为n0,而其度数为2的节点数量为n2$对于任意一颗二叉树，若叶子节点数为n0,而其度数为2的节点数量为n2
$则n0=n2+1$则n0=n2+1
因为二叉树中所有的节点数量都小于2，所以有
$n=n0+n1+n2;$n=n0+n1+n2;
设二叉树分支数目为B，除根节点外，每个节点都对应一个进入他的分支，所以有

$n=B+1;$n=B+1;
又因为二叉树的分支都是由度为1和度为2的节点出发，所以分支数目又等于
$B=2n2+n1;$B=2n2+n1;
整理上述三个式子即可得出：$n0=n2+1$n0=n2+1

这个式子我是从来不记的，我只记住一个树就可以推出来：

这个二叉树，n2=1，n0=2;满足 n0=n2+1;

满二叉树和完全二叉树

满二叉树

定义：如果二叉树深度为k，那么它一定有$2^{k}-1$2k−1个节点，如图

如果满二叉树深度为3，所以它的节点数量为7，所以这个满二叉树一定是这样的，

完全二叉树

完全二叉树就是在满二叉树的最后一层基础上从右往左减去n个节点的树
（0<=n<=$2^{i-1}$2i−1）

以下以深度为3的满二叉树为例子
$$

$(1)减去一个节点的完全二叉树$(1)减去一个节点的完全二叉树

$(2)减去两个节点的完全二叉树$(2)减去两个节点的完全二叉树

$(3)减去三个节点的完全二叉树$(3)减去三个节点的完全二叉树

$(4)减去四个节点的完全二叉树【此时也是深度为2的满二叉树】$(4)减去四个节点的完全二叉树【此时也是深度为2的满二叉树】

$(5)减去零个节点的完全二叉树【此时也是深度为3的满二叉树】$(5)减去零个节点的完全二叉树【此时也是深度为3的满二叉树】

完全二叉树和满二叉树的关系

满二叉树是完全二叉树的一个特例，满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

由于水平有限，本博客难免有不足，恳请各位不吝赐教！