Probabilistic Context-Free Grammers(PCFGs)

一，上下文无关文法(CFGs)

1，基本定义

如下就是一个比较清楚的例子：

2，最左推导

例如：

一组最左推导正好可以很容易地表示成一棵句法解析树，即一组最左推导其实可以看成一棵句法解析树！

假设上面的句法解析树为t$t$，则yield(t)=$yield(t)=$the dog laughs，即这棵树表示的单词序列。
如果至少存在一组推倒，它的yield(t)=s，那么这个单词序列s∈∑∗$s\in \sum ^{\ast }$就被称为是这个CFG定义的语言。

二，歧义

一个单词序列s实际上可以有超过一组的底层推导方式，在这种情况下，我们称这个单词序列在这个CFG下是有歧义的。
最常见的就是介词短语绑定歧义，如下所示：

歧义是自然语言问题中比较严重的问题了，为了解决解析歧义，所以出现了PCFGs！

三，概率上下文无关文法(PCFGs)

1，基本定义

那怎么解决解析歧义呢？这时我们就可以利用概率了！
一个单词序列s的最佳的解析树就是：

这就引入了以下三个问题：

• 模型定义问题：我们应该怎样定义函数p(t)?
• 模型训练问题：我们应该怎样从训练数据中学到模型p(t)的参数？
• 解析问题：给定一个单词序列s，我们应该怎样找到最有可能的解析树？

下面就会详细介绍这些问题如何解决！

2，PCFGs的定义

例如下面这个例子十分清楚：

这就解决了模型定义问题！

直观的理解，PCFGs做了一个假设即解析树是通过以下过程随机生成的：

3，通过语料库来训练出一个PCFGs

核心步骤如下：

这就解决了模型训练问题！

4，找到PCFGs中最佳的解析树

一个极其关键的问题就是给定一个单词序列s，我们怎样找到s的最佳解析树？即：

这需要用到动态规划算法CKY算法！
但使用CKY算法之前，必须先将一般的PCFGs转化为等价的CNF形式的PCFGs。

（1）CNF
CNF十分简单，即：

CNF形式的PCFGs如下：

（2）用CKY算法进行解析

详细流程如下：

主要就是：

• 规则的选择
• 分割点的选择

合理性体现在哪里呢？

One key observation is：

Second key observation is：

可用反证法证明。

5，概率计算问题

其实还有一类问题，就是概率计算问题：给定一个单词序列s，计算它在PCFGs下(即可以通过PCFGs解析)的概率。这需要用到内向算法和外向算法。这里主要介绍一下内向算法，因为它的形式和CKY算法十分相似。

详细流程如下：

它和CKY算法的唯一区别在于将CKY递推式中的max换为了∑$\sum$！