【编者按：哥德尔是奥地利裔美国著名数学家，爱因斯坦的好朋友，不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。】
今天是库尔特-哥德尔（Kurt Godel）诞辰114周年（1906年4月28日~1978年1月14日），我们用什么来纪念这位伟大的思想家呢？对了，我们重读哥德尔定理，重新体会哥德尔定理用思维证明思维的意义。
近年来，一直在追问自己：哥德尔定理到底在说什么？它是怎么样从表达思维的悖论中来，经过形式逻辑的证明，再回到表达思维的本质中去？我们今天划一个简略的线条，最后，用通俗的方式描述哥德尔定理。
在现实世界，人类的行为、思维和生命不断发展，从不停歇，逝者如斯。但是，表达现实世界的形式系统却存在悖论，不仅仅语言，甚至，最严谨的数学大厦也不能幸免。比如：理发师给所有不给自己理发的人理发。罗素用数学语言描述为：定义这样一个集合A，它由所有不属于A的元素a组成。那么，A是否属于它本身呢？理发师到底属于给自己理发的人，还是属于不给自己理发的人呢？
数学家建立了最早的形式（数论）系统和形式（符号）系统，通过不断分层解决形式系统的悖论问题。他们的基本思想是把集合分成各种等级，最低一级的集合只能以那些“对象”为元素，而不能以其他集合为元素。较高一级的集合只能以对象或者更低级的集合为元素。这样，每个集合都被安置在某一个等级上，也就排除了一个集合以自己为元素的可能性。当时的数学家认为这样就可以解决悖论了，可是，这样的数学大厦一直向上搭建，它能到哪一层呢？它的最高一层怎么解决悖论问题？层与层之间还会不会出现混乱？
数学家、科学家，甚至普通大众，都多多少少学会了逻辑推理，也就是潜移默化的接受了用形式系统表达现实世界，我们已经无法用任何其他方式代替形式系统交流对现实世界的认识。可是，形式系统不是行为、思维和生命，各种各样的形式系统都有缺陷，都有类似上述语言的缺陷。哥德尔证明了形式系统存在缺陷，即：完备性和一致性不可兼得，它给数学界带来了一场真实的地震。这场地震又慢慢波及到很多普通人，我能感觉到，越来越多抑郁的个体受到更多的冲击。他们就像高保真“唱机”一样，无法播放现实世界的所有“唱片”，在他们看来，这些唱片常常包含各种噪音和多种混合的旋律。
那么，为什么人类的行为、思维和生命不存在悖论，而表达现实世界的形式系统存在悖论？是否说明，形式系统，也就是我们说的理性，不能描述完整的现实世界？是的，数学家在建立形式系统的时候，已经像倒洗澡水一样将感性与悖论一起倒出去了，形式（逻辑）系统不接受感性的内容。
我们还可以这样理解：理性和感性相伴而生。理性的形式系统通过层级叠加反映现实世界，表现为历时性特点；而人类激情的感性通过同层碰撞反映现实世界，表现为即时性特点。前者反映了时间的顺序，后者反映了空间的混战。休谟说：理性是激情的奴隶。我更愿意这样理解：今天的理性只能描述昨天的激情。那么，今天的激情造成的错误怎么办？这就是形式系统“时滞”的缺陷。
人工智能通过递归将不同层级的集合联系起来，计算机的高速运转弥补了历时性和即时性之间“时滞”的缺陷。但是，这个缺陷一直没有被根本解决，所以，人工智能不是真正意义上的人类思维。人类思维能够不断在多层次的“集合”和“对象”之间切换，也就是在多层次的“类”和“具体”之间切换。而计算机却仅仅通过递归可枚举运行，计算机与人类的不同之处是人有感情，而计算机没有感情。人们本能知道，“理发师给所有不给自己理发的人理发”所传递的真实意义，中国人还说“只可意会不可言传”，说明中国人很早就发现了这种语言悖论。
好了，所有上述最艰难的工作就是哥德尔证明了形式系统的缺陷，而证明的核心就是哥德尔编码，有关哥德尔编码本篇暂时不展开。为了表达我们对这位伟人的敬意，我们重读哥德尔定理原文翻译，再用大多数人能够理解的方式通俗翻译一下，最后，用道格拉斯-霍夫施塔特的话作为结束语。
定理VI：对于任意一个ω一致的原始递归公理集合κ，一定存在一个原始递归的表达式r，使得无论是“r总成立”这个命题，还是“r不总成立”这个命题，都不属于通过κ可推导出来的定理的集合（原文中的Conseq(κ)）。
通俗的翻译：有一个房子（集合κ），有的人能够把它分门别类收拾的井井有条，有的人却只能收拾的乱七八糟。即使是前者，也还会有一些小物品无法分门别类收纳清楚，于是，他（她）就用一个抽屉（集合r）收拾这些不能分门别类的物品，人们确实不知道谁能够把剩下来的物品全部分门别类收纳清楚。
霍夫施塔特：哥德尔真正证明了这句格言，“科学研究是永无止境的”！