整数快速幂-归纳法

计算x的n次幂的朴素算法复杂度为O(N)，我们还有一种复杂度为O(log N)的快速幂方法。

基本思想：

1. 令m=n/2。 假设已经知道如何计算x^m，再来求xⁿ。

2. 分两种情况：

如果n为偶数，xⁿ=(x^m)²

如果n为奇数，xⁿ=x(x^m)²

根据这个思想，可以得出递归的算法：

伪代码：

 

 

C++代码：

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1. int quickpower(int a, int n) {  
2.   if (n == 0)  
3.     return 1;  
4.   if (n % 2 == 1)  
5.     return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2) * a;  
6.   else  
7.     return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2);  
8. }  

 

我们推导出迭代的算法。

推导过程：

 

求实数x的n次方法：

1. 令n表示为二进制d_k，d_k-1，…d₀。n=2^k+2^k-1+…+2⁰

2. 令y=1.

3. 从左到右扫描二进制数字，如果当前数字为0，y赋值y²，如果当前数字为1，y赋值xy²。

伪代码：

 

私家珍藏两版C++代码：

1.

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1. //a^n%mod  
2. long long pow_mod(long long a, long long n, long long mod)  
3. {  
4. long long ret = 1;  //返回的值  
5. while (n)  
6. {  
7. if (n % 2 == 1) ret = ret*a%mod;     //n&2==1表示低位为1，因此要乘上去  
8. a = a*a%mod; //a倍增  
9. n /= 2;  //n除以2，转到下一位  
10. }  
11. return ret;  
12. }  

2.

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1. long long pow_mod(long long a,long long n,long long mod)  
2. {  
3. long long ret=1;  
4. while (n)  
5. {  
6. if (n & 1) ret = ret*a%mod;  
7. a = a*a%mod;  
8. n >>= 1;  
9. }  
10. return ret;  
11. }  

int pw(int x, int y, int p) {
if (!y) {
return 1;
}
int res = pw(x*x,y/2,p);
if (y & 1) {
res = res * x % p;
}
return res;
}