本文节选自广西师大出版社《数学现场：另类世界史》！
湛蓝湛蓝的爱琴海，宛如一枚巨大的蓝宝石。大大小小的岛屿星罗棋布，是洒在蓝色沙盘里的绿色珍珠。这些珍珠星星点点，把欧亚大陆和希腊半岛串联在一起。靠近亚洲大陆的大岛叫希俄斯，它的东南面，几乎跟小亚细亚连在一起的，叫萨摩斯。爱琴海正中间有一串西北东南走向的群岛，群岛的最下端，有一个几乎看不见的小黑点，那就是德洛斯。
几艘大船正在鼓起白帆，自东向西航行，看样子是朝着雅典去的。突然，礁石岛后面蹿出十几条快船，飞快地排成一圈，把船队包围起来。眼看圈子越来越小，其中一艘大船加足马力，企图从包围圈内硬冲出去，小船放箭阻挡，大船上几个水手中箭，“扑通扑通”跌落海中。
眨眼之间，海盗船上已经投出绳梯，挂住了大船。衣衫褴褛的海盗们身手敏捷，像耗子一样飞速蹿上大船，手持大刀肆意砍杀甲板上四处奔逃的水手。海盗们赤裸的臂膀和胸脯上五彩斑斓的图案在血光中时隐时现。
白帆后面猛然跳出一个人来，头戴青铜盔，胸挂青铜甲，一手持盾，一手持剑，英武异常，直朝海盗们扑去。几个海盗被打倒在地，可是更多的海盗攀上船舷，把这位武士团团围住。那个人临危不惧，拼命搏斗，可是架不住对方人多，眼看着被逼到船舷，进退不得。他猛砍数刀，逼退敌人，自己大吼一声，纵身跳入大海。
这个人名叫希波克拉底（Hippocrates of Chios，约公元前470—约公元前410），本是希俄斯岛上一位大富翁。这次海盗把他的货物抢劫一空，同伴全部死于非命。希波克拉底能单身一人逃生，实在是太侥幸了。只是他一下子变成了穷光蛋，身无分文。以后的日子如何过下去？希波克拉底把自己关在房间里，冥思苦想了许久。终于有一天，他一跺脚，踢开房门，两手空空横渡爱琴海，去了雅典。
从此，茫茫人海少了一个商人，人类历史上多了一位数学家。
希波克拉底在少年时代曾经到离家乡希俄斯岛不远的萨摩斯岛求学，受到那里的毕达哥拉斯学派的影响，对他们的自然科学研究印象深刻，也为自己打下了相当坚实的数学基础。他来到雅典以后，潜心研究，兼收并蓄，不久便成就卓然。他写了一本教科书《几何原本》，这是古希腊四部有名的《原本》中最早的一部，书中系统地归纳了当时所知的几何学原理，是人类历史上利用基本概念、方法和定理来建立数学理论体系的首次尝试。一百多年后，欧几里得（Euclid，大约生活在公元前4世纪至公元前3世纪）撰写《几何原本》的时候，很可能是以他之前的三部《原本》为基础的。可惜他的这部手稿仅残存于后人的书简之中，而其他两部则完全逸失了，只有欧几里得的《原本》存留于世。
数海拾贝
古希腊人留下三大著名的几何难题。二倍神坛只是其中之一，另外两个难题，一个是化圆为方，一个是三等分锐角。按照原来的规矩，所有的问题都必须用简单尺规作图的方式完成。
所谓化圆为方，就是找到一个正方形，使它的面积跟给定的圆的面积相等。这实际上是寻找圆周率的平方根（下图）。
三等分锐角的问题比较容易理解：
这三大难题乍看起来都非常简单，但是严格按照尺规作图的规定来解决却极为困难，最终都被证明是不可能的。无数后人痴迷于这些难题，他们寻找答案的过程在很大程度上奠定了数学史的发展过程。
希波克拉底来到雅典的时候，那里刚刚经历了瘟疫的肆虐。他立刻投入到解决二倍神坛的研究浪潮中去，并且很快就意识到这个问题的难度非同寻常。经过几年的潜心钻研，他发现这个问题实际上相当于一个等值几何比例的问题。
古希腊人是人类历史上首先对几何问题进行系统抽象研究，并建立理论体系的部族。他们发现了很多定理。这些定理乍一看上去，似乎属于“百无一用”之类的智力游戏，起码对升官发财、娶妻生子没有什么好处。可正是这样的活动促进了人类知识的发展，使我们逐渐有了现代的科学技术。
现在让我们考虑一个任意直角三角形ABC（图5），它的直角在C点的地方。如果从C点作一条直线，使它和线段AB垂直，并且交AB于D点，那么三角形ABC同三角形CBD以及三角形ACD相似，也就是说，它们的形状是一样的，不过大小不同。在这种情况下，它们对应的各条边的长度之间的比例相等，也就是说：
（4）
换句话说，点D把线段AB分成两段AD和BD，它们同CD的关系是。古希腊人把这种关系称为几何比例。
花絮 1
古希腊人自称为海伦的后代（Hellenes）。他们把自己的土地叫作Hellas，中文“希腊”就是从这个名字译得的。古罗马人把他们居住的岛群称为Graecia，这在英文里变成了Greece。这个名字后来被大多数语言所采纳，因此希腊人就成了Greeks。至今希腊仍自称为希腊共和国（HellenicRepublic），所以中文的名字更准确。从来没有一个叫作“古希腊”的国家。希腊由许多独立的城邦组成，城邦之间的战争从来没有间断过。
古希腊人认为自己是一个由移民融合而构成的民族。希腊的地理位置使得它有可能接触亚、非、欧三大洲的民族。在文化上，古希腊吸纳了苏美尔、巴比伦、古埃及、美索不达米亚等文明的元素。与众不同的是，古希腊人酷爱抽象思考，想要对世界的构成建立一套自洽的理论。
古希腊文明是指希腊自公元前8世纪开始的古风时期（ArchaicPeriod）到公元前146年被罗马帝国征服之前这段时间的希腊文明。在结构上，古希腊是若干城邦组成的松散联盟，不仅占有希腊半岛，还占有小亚细亚很多地区，城邦之间不乏相互征伐。公元前5世纪，波斯王国兴起，几度进攻小亚细亚和希腊半岛，史称波希战争。雅典城邦引领希腊其他城邦取得两次波希战争的胜利，雅典城邦在公元前5世纪到公元前4世纪达到鼎盛。
亚历山大大帝征服整个希腊半岛后，希腊文明在地中海西岸到中亚的大片地区扩展。从亚历山大大帝逝世前后起，到公元前30年最后的继业者王国——托勒密王国在埃及灭亡为止，古希腊文明主宰了整个地中海东部沿岸，所以历史上称这个时期为希腊化时代（HellenisticPeriod）。希腊化时代是希腊古典时代和罗马文化之间的过渡。同希腊古典时代相比，这个时期文化呈现逐渐下降或衰退的趋势。这个时期的特点之一是新一波的希腊殖民活动，以在埃及和西亚的各地区内建立殖民城市为主。
花絮 2
你知道吗？古希腊人是最早利用数学来研究和描述音乐里的音阶的。他们早就知道，两根琴弦，如果它们的长度比是2∶1，它们所奏出来的音节就相差一个八度；长度比为4∶3，那音节就相差一个纯四度；长度比为3∶2，音节就相差一个纯五度。于是他们说：世间万物的关系都能通过数字表达出来！正是这种信念使他们为人类的科学文化开创了崭新的天地。
那个多才多艺的阿基塔斯把古希腊的数学乐理提高到一个空前的高度。他证明了，全音阶的音程之间的关系具有n+1比n的关系，比如，2∶1、4∶3、3∶2、9∶8，等等，而不可能具有等值几何比那样的关系。
阿基塔斯的另一个天才发明是机械鸟，他称之为“飞鸽”。根据史书上的记载，飞鸽是以蒸汽为动力飞翔的。今天仍有许多人在想办法复制他的发明。
希波克拉底发现，二倍立方的问题实际上等价于这样一个问题：给定两条已知的直线段，它们的长度分别是a和b，现在需要找出另外两条直线段，长度是x和y，使得a与x之比既等于x与y之比，又等于y与b之比。用代数符号表示，就是：
（5）
用现在的数学语言来说，x是数值a和y的比例中项，y是x和b的比例中项。由于这个比例关系，，。所以x是a和y的几何平均值，y是x和b的几何平均值。等式（5）的特殊之处在于，这里有两套数值（a，x，y和x，y，b），它们的比例中项相等。这一类的比例中项叫作双比例中项。希波克拉底说，对边长是a的立方体和一条线段b，使b=2a，如果能找出它们之间的双比例中项x和y，使得它们满足等式（5），那么x就是要找的立方体的边长。
从今天代数学的角度来看，这两个等值几何比例跟二倍立方的关系是很明显的，因为如果等式（5）成立，那么：
所以已知一个边长为a的立方体，要想得到另一个立方体，使其体积是已知立方体的a/b倍，我们只需要找到上面等式中的x。在两千五百多年前，人们既不具有这种代数知识，也没有这种代数语言，能够看出两个问题的等价性是非常不简单的。古希腊人不会利用代数来思考，希波克拉底以后，古希腊的几何学家们就都去努力寻找满足式（5）的线段。
希波克拉底还花了大量时间研究化圆为方的问题，他唯一幸存下来的工作就是这方面的研究。他擅长演绎推理和归纳，常常把具体特定的数学问题转化为适用广泛的普遍问题，一旦普遍问题得到解决，特定问题就自动解决了。他还首次提出逻辑上的反证法，并且在数学论证中广泛应用；这个方法后来被亚里士多德在哲学上发扬光大。
他的另一个重要的发明是在几何作图证明当中使用字母，使得逻辑表述简洁而清晰。比如图5中的三角形；我们现在说，三角形ABC，线段AB、AC，点A、B、C，等等，这种表达方式归功于希波克拉底。
希波克拉底去世不久，塔伦腾（Tarentum，在今天意大利南部）出了一位多才多艺的阿基塔斯（Archytas，公元前428—公元前347）。
意大利半岛的形状很像一只女士的长筒靴，塔伦腾就在靠近靴子跟的地方。这个城邦原是斯巴达殖民者在公元前706年建立的。它有意大利海岸最好的海港，因此对希腊的海洋活动具有重要战略意义。塔伦腾与斯巴达的历史渊源使它在伯罗奔尼撒战争中与雅典为敌。在阿基塔斯领导塔伦腾的时候，这个城邦的实力完全可以和雅典相抗衡。
阿基塔斯既是政治家、军事家、哲学家，又是数学家和天文学家。他在塔伦腾集军政大权于一身，运筹帷幄，号称一辈子没有打过败仗。大概是出于这个原因，他连续七届被选举为塔伦腾的总领。这违反了古希腊时代总领不可连续任职的规矩。但是，有一次他让出总领位置不久，塔伦腾的保卫战就出现失利，于是公民又拥戴他做总领。据说他和柏拉图是挚友，两个人甚至连生卒年份都很相近。柏拉图在叙拉古国王的手下遭难时，阿基塔斯曾经试图出兵相救。当时，柏拉图正在叙拉古努力推行他在《理想国》里面阐发的理论，不过成绩实在让人不敢恭维。柏拉图先是被叙拉古国王狄奥尼西奥斯一世（Dionysius I of Syracuse，约公元前432—公元前367）贩卖为奴，后来又被其子狄奥尼西奥斯二世（Dionysius II of Syracuse，约公元前397—公元前 343）变相软禁。有人说，柏拉图在《理想国》中描述的乌托邦的哲学家国王，就是以阿基塔斯为原型的。阿基塔斯公正廉洁、仁义博爱，而且目光远大。在科学方面，他是欧多克斯（Eudoxus of Cnidus，约公元前390—约公元前337）的老师，而欧多克斯是柏拉图看好能够攻克二倍立方难题的人选之一。
希波克拉底对双几何比的发现使无数希腊几何学家大为振奋，纷纷跃跃欲试，争取第一个找到那个神秘的比值。他们大多从类似于图5的平面三角形出发，但求得结果的希望非常渺茫。阿基塔斯却找到了一个绝妙的办法，极其美妙地解决了问题——他跳到三维空间里去了。他的方法在数学史上备受赞叹，现在让我们用图6—图8来介绍一下他的思路。
设想在xy平面上有一个圆OBA，它的直径是OA=a（图6a）。OB是一条直线，点B落在圆弧上，线段的长度是OB=b。我们的目的是找到a和b之间的双比例中项。现在把线段OB延长到点C，使得AC是圆OBA在A点的切线。现在想象圆OBA沿着跟这本书的纸页垂直的方向朝外“长”出这本书的纸面，变成一个空心的圆柱。再想象直线OC绕着x轴旋转，变成一个空心的圆锥。最后，想象圆OBA绕着x轴旋转90度，变成一个落在xz平面上的圆，然后把这个圆绕着过点O的z轴旋转360度。这是一个什么形状呢？对了，这是一个中心缩成一点的轮胎，或是甜甜圈。图6b是这三个三维曲面在xy平面上方的样子。
现在，让我们先看看甜甜圈和圆柱这两个曲面能切出什么样的曲线来。如果把甜甜圈通过中心点垂直切开，那么每个截面都是直径为a的圆（图7a）。这些圆对应于图7b、7c、7d中的半圆ODP。圆OAQ是在图6a里面位于xy平面的圆，由它生成的圆柱（图7a中蓝色的半个圆柱面）同这些半圆ODP交于点P。从点P沿着圆柱的表面向xy平面做垂线，垂线与图6a中的圆OAB交于点Q。想象半圆ODP绕着通过点O的z轴旋转，甜甜圈和圆柱的交点P随着旋转而变化，就构成一条在空间弯曲的线段。用现代数学的话说，这条曲线是点P的轨迹。
下面我们再把圆锥曲面考虑进来。图8a中，半圆ZBM是圆锥曲面通过点B同圆OAB垂直的截面，而且线段BZ垂直于线段OA。M是半圆ZBM上任意的一点。从点M向xy平面（圆OAB所在的平面）作垂线，交ZB线段于点T。
现在回到图7中，在点P的轨迹中选择一个点，使半圆形截面OPD的底边OD与线段OT重合。换句话说，把线段OT延长到点D，把线段OM延长到点P，使半圆ODP与圆柱相交于点P。从图7中，我们知道，这总是可以做到的。而且根据图8，点P的垂线交圆OAB于点Q。这样，三角形OPD里面包含了若干较小的三角形，比如三角形OMQ和三角形OTM（图8b）。
既然角OPD所对应的线段OD是圆OPD的直径，角OPD一定是圆周角，根据泰勒斯定理，它一定是90度。换句话说，三角形OPD是直角三角形。三角形OTM也是直角三角形，因为MT是点M向xy平面所作的垂线。这两个三角形又有一个共同的角（角POQ或角MOT），所以它们是相似三角形。因此：
（5a）
因为线段OB和OM都在圆锥截面的半圆形ZMB上面，所以OM=OB=b。又因为OD和OP都在xy平面内的甜甜圈上，所以OD=OA=a。这样，上面的等式就可以写成：
（5b）
这不就是等式（4）吗？根据我们关于等式（4）的讨论，找到了OP，也就找到了问题的解。二倍立方的问题，相当于。点B是可以利用尺规作图的办法找到的。在图8里，OM=OB=b，OD=a，有了这几个参数以后，圆柱、圆锥和甜甜圈的大小就都确定了。下面的问题就是如何建立三维图形，寻找那个点P了。但这仅仅利用尺规作图是得不到的。
阿基塔斯制造了一种机械装置，根据上述作图的原理，专门用来计算两条比值为的线段。他是所谓“机械数学”方法（也就是利用机械来解决数学问题）的创始人之一。可惜他的机械装置已经失传了。这种“机械数学”方法实际上有着深刻的含义：他把数学问题转化为物理（机械）问题来解决。这在我们对图6—图8的描述里可以看得很清楚：他是利用一些点按照某种规则在空间运行的轨道来处理二倍立方问题的。
阿基塔斯的过人之处不为他同时代的人所理解。与他同时的几何学家们几乎都看不懂他的分析，就连他的好朋友柏拉图对他的工作也不以为然。我们从历史学家普鲁塔赫（Plutarch，公元46—公元120）的著作中知道，柏拉图对利用机械解决几何问题的方式相当反感，认为它使几何学失去了永恒的纯洁和神圣。也许在柏拉图看来，几何学永远是平面的。
阿基塔斯两千三百年前的工作至今让很多数学家惊诧莫名。一些学者强调，我们对古希腊科学的发展还非常缺乏了解，这是因为许多珍贵的古希腊文献要么逸失，要么被故意销毁了。文艺复兴以来，大物理学家和数学家们都强调要仔细研读古希腊数学，从字里行间抓到它的“灵魂”。
梅内克缪斯（Menaechmus，公元前380—公元前320）走的是和阿基塔斯类似的路子—在三维曲面中寻找平均比的解。他把注意力放在圆锥上，发现如果用平面去切割一个正圆锥，平面与曲面相交，可以得到几种不同的曲线，这就是后来所谓的圆锥曲线（图9）。梅内克缪斯的几何推导也不容易理解，还是用现代的代数语言描述比较方便（也有点“投机取巧”）。先回到希波克拉底的问题，也就是方程式（4）。
由于
，所以xy = ab——这种曲线今天称为双曲线；
由于
，所以
——这是抛物线；
又由于
，所以
——也是抛物线，只不过把上面那条抛物线的变量（x、y）对调，再把b换成a而已。
有一些基本代数知识的读者马上可以看出，这三条曲线当中任何两条的交点都是几何比的解。所以梅内克缪斯给出两个解，一个相当于寻求抛物线和双曲线xy = ab的交点，另一个是找出两条抛物线
和
的交点。这当然不是梅内克缪斯的具体做法。和阿基塔斯一样，他也是通过一系列几何推理得到与此等价的结果的。
不过，尽管梅内克缪斯发现了圆锥曲线，他还不晓得任何含有两个变量的方程都对应一条曲线。代数学还需要一千年才会开始——正因为如此，古希腊人利用几何原理所达到的水平才更加令人钦佩。
一晃五六百年过去了，五花八门的解决方法层出不穷。还有一些天才人物，他们已经越过，去研究更复杂的三次方程了。
对于数学家来说，最重要的莫过于数学的基础，而这个基础相当大的一部分来自古希腊。是古希腊人建立了基本原则，发明了第一性原理，并修正了基本术语。简言之，无论现代数学分析带来或将要带来什么新的内容，数学归根到底是希腊人的科学。
没有什么能比希腊数学史更惊人地、令人敬畏地表现出希腊人的天才。不仅是古希腊数学家所成就的那种神奇的广度和数量，更需要注意的是这些巨量的工作是在一个难以置信的短暂时间内完成的，而他们所具有的手段十分有限——至少在我们看来——仅仅是纯几何，加上一点平平常常的算法操作。
本文节选自广西师大出版社《数学现场：另类世界史》，作者：王雁斌。
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