这是在 Computer Graphics Forum 2018上的一篇文章
Li X Z, Zhu L, Fu C W, Heng P A. Non-local low-rank normal filtering for mesh denoising[J]. Computer Graphics Forum, 2018, 37(7): 155-166
这篇文章主要讲了一种非局部的低阶法向滤波去噪方法，其中用到了引导网格。
该方法分为三个部分：
一、用本文提出的G-NPC探测器找出与当前点邻域最为相似的点邻域。
首先，对噪声网格M上的每一个点
,，定义集合
，其中的点的局部邻域与,的局部邻域相似。为了确定两个顶点是否相似，最基础的想法是提取出顶点的局部邻域并计算两者的特征差异。由于网格M包含噪声，所以构造一个好的局部检测算子有些困难。协方差矩阵在图像处理中取得了很好的效果。受其启发，定义一个法向面片协方差(NPC)探测器来描述给定点的局部特征。在数学中，的NPC是一个3*3的矩阵：
, （1）
其中，
是顶点邻域集
的第
个元素。
是中顶点向量的平均向量。图中解释了协方差矩阵的具体由来。
计算两个协方差矩阵的距离并不简单。因为协方差矩阵是黎曼流形，我们不能直接用欧式距离度量。(参考KARACAN L., ERDEM E., ERDEM A.: Structure-preserving imagesmoothingviaregioncovariances. ACMTrans.onGraphics(SIGGRAPH Asia) 32, 6 (2013), 176:1–11.), 定义和
的NPC的距离为：
的值越小，邻域和
的相似度越大。
为了进一步提高相似顶点选取的准确性，利用预处理过的网格
作为引导网格计算引导法向协方差(G-NPC)距离：
其中，
,
是引导网格中的顶点。引导网格是由双边法向滤波产生的。(ZHENG Y., FU H., AU O. K.-C., TAI C.-L.: Bilateralnormal filtering for mesh denoising. IEEE Trans. Vis. & Comp. Graphics 17, 10 (2011), 1521–1530. 1, 2, 3, 4, 8, 10 )由于引导网格中有些信息已经丢失，所以并没有只用引导网格求矩阵的相似性。本文并没有在全网格中寻找相似点，而是在顶点的
环邻域中搜索。在这里，经验式的设定
,
.为了更好的利用双边法向滤波获取引导网格，设置了迭代次数为10。
,
的值后面会讨论到。
二、用低阶恢复模型对顶点法向做滤波
现在，我们假设相似顶点已经用上述
方法找到。令
, 即中包含与
最相似的点。现在计算法向域面片组(NPG)矩阵
来处理顶点邻域顶点向量，包括
,..., 
。
1.包装中的顶点向量
如上图所示，中每一列是每个相似点局部邻域顶点的法向，一共有han位置，得到去噪后网格个相似点，所以共有列，每组局部邻域点包含
个顶点，所以共有3 * 行。
现在对中每个顶点的邻域中顶点进行重新排列。先将包装，再对后面
个点保障。这里提出了三种方法：
(1)利用NPC矩阵，使用基于环的NPC顺序方案。首先，定义一个起始点，这个点的NPC矩阵中所有元素的绝对值之和是最大的。这样，我们确定了一个几何结构较为明显的顶点作为起始点。然后，在该点，以为中心，逆时针旋转排序。之后
个相似顶点以同样地方式排列。
(2)使用随机排序方式。对个相似顶点，每个顶点中的邻域顶点都使用随机排序。
(3)对当前顶点使用方法(1),对其余的个顶点使用方法(2)。
实验中，方法(1)中NPG结果较好。至此，中的顶点向量已经被包装为NPG矩阵。
2.计算低阶面片恢复模型
令和
分别为同一个当前顶点的关于输入网格和去噪后网格的NPG矩阵。
由于没有噪声，其中相似点较多，所以应该是低阶的。由于具有噪声阶数较大。这一观察启发我们应该将网格去噪转化为
上的低阶恢复问题。由噪声模型的矩阵到无噪声模型的矩阵的低阶恢复，最小化下述优化问题：
其中，
是一个权值，本文所有实验中设置其为1。rank()表示的秩，F表示Frobenius范数。
秩最小化的求解时很困难的。这里，构造截断
范数
:
这里取正值。
是矩阵的最小奇异值的个数，
是矩阵的奇异值。一般来说，大的奇异值比小的奇异值重要，因为它们代表了组成元素的能量的大小，这也通常和输入网格的特征有关。这里的范数的作用有:(i)使大的奇异值和矩阵的秩较比核范数更相近。(ii)忽略很小的特征值，这些特征值通常和噪声有关，在我们的低阶恢复中有效的避免了噪声干扰。因此我们的范数可以更好地保持特征。一般设置
，
。
综上所述，我们的低阶网格恢复模型为：
注意，在求得最优解后，中的每个法向都进一步被规范化为单位向量。
三、求最优解
在求解中，我们的主要想法是将原始的目标最小化问题转换为解决几个子问题，这几个封闭子问题的解较容易求得。详细的说，我们首先把上式第二项 (i)用一个不相等的式子代替 (ii)将该式子应用于近似范数，得到下式中前两项。
其中
；
是
单位矩阵。
m和n 是的维数。
，然后我们将上述公式分为两步迭代求解，迭代次数为T.
STEP 1.
。。。。。未完待续。