均匀平面波

1. 电磁波

电磁波，即空间中移动的磁场和电场，是电磁学中的基本现象之一。在真空中，电磁波移动速度为光速，且运动轨迹通常为直线

我们可以将电磁波解析为磁场分量和电场分量，示意图如下：

电磁波的特性有两个，频率（frequency）和波长（wavelength），可能的频率范围被称为频谱（spectrum），真空中波长$\lambda$λ和频率$f$f的关系如下
$\lambda=\frac{c_0}{f}$λ=fc0​​
其中$c_0$c0​是光速，$c_0=3\times10^8m/s$c0​=3×108m/s

2. 波动方程

假设有一个均匀的无源介质，它的介电常数为$\varepsilon$ε，磁导率为$\mu$μ，电导率为$\sigma$σ，则根据麦克斯韦方程组，可以得出

上面方程的变量为E和H，现在，我们尝试推导出只含有一个变量E的方程
推导的过程这里不会详细介绍，但我们需要记住推导中做出的一些假设

2.1 假设1

波传递的介质是无源介质
$\rho=0$ρ=0

2.2 假设2

我们假设波传递的介质是一个理想的无损介质，这种介质的电导率为0，即
$\sigma=0$σ=0
这意味着波在传播的过程中不会出现衰减

2.3 假设3

对于一个平面波，电场分量$E$E和磁场分量$H$H都处于横截面上，横截面与波传递的方向垂直，鉴于两个分量在纵向z，即波传递的方向上都没有分量，我们可以知道
$E_z=0$Ez​=0
$H_z=0$Hz​=0
这种波也被称为横向电磁波（tranverse electromagnetic wave），简写为TEM波

2.4 假设4

假设波在一个均匀平面上传播，对于均匀平面波（uniform plane wave），电场分量和磁场分量的值只与z有关，与x，y无关，即E和H的表达式包含z，不包含x，y，因此可以得出

2.5 假设5

电磁波是谐波，关于时间的微分可以用相位表示

2. 6 结果

最终得到只包含E的表达式为

其中$E_{xf}$Exf​是波向前移动时的表达式，$E_{xb}$Exb​是波向后移动时的表达式

2.7 参数计算

2.7.1 波的传播速度

$u_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{c_0}{\sqrt{\mu_r\epsilon_r}}$up​=βω​=μr​ϵr​​c0​​
其中$c_0$c0​是光速

2.7.2 波长

$\lambda=\frac{u_p}{f}$λ=fup​​

2.7.3 固有阻抗

$\eta=\eta_0\sqrt\frac{\mu_r}{\epsilon_r}$η=η0​ϵr​μr​​​
其中$\eta_0$η0​是真空固有阻抗