傅里叶变换--图说

文章目录

• 傅里叶
• 傅里叶级数
• 傅里叶变换
• 变换公式原理：
• 拉式变换
• 应用
• 参考

傅里叶

傅里叶变换将时域函数转换到频域上，可以用来解决实际的工程问题，如在音频特征的提取处理，图像特征的提取处理，另外也可以用来解决实际时域数学计算的困难性，如简化求解微分方程。
傅里叶级数和傅里叶变换都源自于傅里叶原理得出；傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。

题外话：世界好神奇，数学好神奇。泰勒公式用多项式拟合所有函数，傅里叶变换用波函数拟合所有函数。
量子具有波粒二象性，微观粒子都有波粒二象性，各种频谱的电磁波叠加就是白光。。。

傅里叶级数

首先我们来讨论傅里叶级数，
任何周期函数，都可以看作是不同振幅，相位，频率的波函数的叠加。如下图所示。

周期函数可以近似为多个不同频率的波函数的叠加。从而将周期函数转化为频域级数$\Sigma$Σ。将时域信号转化为频域信号（波函数带走时间维度）。
时域或者频域其实是函数的不同表示方式。

将函数近似为离散频域波函数叠加。此时波函数只用频率、幅值、相位三个参数表示，即，$f(t)->\Sigma g(A,\omega,\psi)$f(t)−>Σg(A,ω,ψ)。

频域表示需要：频率、相位及幅值三个参数。

傅里叶级数只能近似原函数，如果要完全匹配，则需要无穷个不同相位波叠加。无穷个不同相位的波函数叠加:$\Sigma g(A,\omega,\psi)=\int g(A,\omega,\psi)dA d\omega d\psi$Σg(A,ω,ψ)=∫g(A,ω,ψ)dAdωdψ。

傅里叶变换

将非周期函数看作是周期为无穷的函数，将傅里叶级数写成积分形式，便引入了傅里也变换。
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

(a).周期函数，可以通过傅立叶级数画出频域图
(b).增长周期，频域图变得越来越密集
©. 得到傅立叶变换，频域图变为连续的曲线

随着周期的增长，频域中的频率越来越靠拢(上图中有歧义，bc图并不是在a的频率基础上继续填空，而是频率小紧靠拢)，如下：

变换公式原理：

傅里叶变换公式：
时->频： $F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{iwt}dt$F(ω)=∫−∞+∞​f(t)eiwtdt
频->时： $f(t)={1\over 2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{iwt}d\omega$f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)eiwtdωt

正弦波可以看成是圆周运动在时域上的表示，如下图，平面圆周纵轴映射为$sin(t)$sin(t)函数

多个波叠加就像形体公转自转一样。

多叠加一个波就多一个圆，如下图，每次加入左边所列的波函数，会形成右边的轨迹。

时域到复频域映射
可以使用欧拉方程将波函数软化为指数复频域。时域-》频域-》复频域。
欧拉公式：
$e^{πi}+1=0$eπi+1=0**
即
$e^{ix}={\rm cos}x+i{\rm sin}x$eix=cosx+isinx
正弦信号加入虚部$i$i则将波函数映射在复数域上。$e^{it}$eit就是在复数域上做圆周运动相比平面的圆周运动。
复数域圆周运动多了一个维度，横轴(实部)映射为$cos(t)$cos(t)，纵轴(虚部)映射为$sin(t)$sin(t)

可知，做圆周运动，在周期T后又回到原点，所以：

利用复频域对时间的积分，可以将时域函数去除时间信息。

因此可用$e^{it}$eit来表示$cos(t)$cos(t)和$sin(t)$sin(t)函数。
即：$cos(t) =\frac {e^{it}+e^{it}} {2}$cos(t)=2eit+eit​ $sin(t) =\frac {e^{it}-e^{it}} {2}$sin(t)=2eit−eit​

函数$f(x)$f(x)可以用波函数拟合，波函数可以映射到复频域，可得：
$f(x)=\Sigma _{-\infty}^{+\infty}c_ke^{ikt}$f(x)=Σ−∞+∞​ck​eikt
其中$k$k为累加变量。

化简乘以其中一个负的指数幂：

写成积分形式：

就得到傅里叶指数情况下的系数：

从而知时域到复频域变换。

拉式变换

https://blog.csdn.net/yyl424525/article/details/98790080
傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行，特别是那个绝对可积的条件，一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于 时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。

数学描述：
$\lim_{x \to +\infty}f(x)e^{-\sigma x}=0,\sigma \in R$limx→+∞​f(x)e−σx=0,σ∈R
对衰减处理后的函数进行傅里叶变换：
$F(\omega)=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{-\sigma x}e^{iwt}dt=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{(-\sigma x+iw)t}dt$F(ω)=∫0+∞​f(t)e−σxeiwtdt=∫0+∞​f(t)e(−σx+iw)tdt
令：
$s=\sigma + i\omega$s=σ+iω
得：
$F(s)=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{st}dt$F(s)=∫0+∞​f(t)estdt

应用

1.傅里叶可用于提取音频及图像频率信息，进行处理。
图像
提取图像高频图像信息，高频指幅值比较高的频率。
将图像映射到频域，提取高频信息，在转回图像，会得到轮廓。
将图像中低频信号剔除，可用于美艳等。

音频
可用于滤噪，或者实现男女声切换等等。

2.数学计算
可用于简化微积分计算。
使用拉式变换可用于将时域控制传递函数映射到复频域，简化系统分析。

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
https://www.zhihu.com/question/21665935
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1627167359710942781&wfr=spider&for=pc