GAMES101-Lecture 04

文章目录

• Transformation Cont
• 补充上节课内容
• 本节内容
• View/Camera transformation
• Projection transformation
• 两种投影方式：
• Orthographic（正交） Projection
• Perspective（透视）Projection

Transformation Cont

补充上节课内容

旋转$-\theta$−θ角的矩阵表示：$R_{-\theta}=R^{T}_{\theta}=R^{-1}_{\theta}$R−θ​=RθT​=Rθ−1​

结论：在旋转里，旋转矩阵的逆就是旋转矩阵的转置。

正交矩阵：矩阵的逆=矩阵的转置

本节内容

• Viewing transformation（视图变换）
  • View/Camera transformation
  • Projection（投影）transformation
    • Orthographic（正交） Projection
    • Perspective（透视）

View/Camera transformation

变换目的：将三维空间的物体变换成二维空间的照片。
MVP变换三步骤：

• 模型变换（Model transformation）：摆好模型
• 视图变换（View transformation）：改变相机的角度、位置等
• 投影变换（Projection transformation）：三维投影到二维

视图变换：

• 首先定义相机：位置、往哪看（Look-at/gaze direction）、向上方向（相机头部的方向，向左偏、向右偏之类的）观察方向和向上方向是垂直的（因为镜头方向和相机头部垂直）
  
• Key observation观察点
  • 如果相机和所有物体一起移动，则其相对位置没有改变，拍的照片也是一样的。
    
• 设定相机的位置作为原点固定，永远朝向-z方向看，向上方向为y轴方向——相机在标准位置，其他物体跟随相机移动。
  

如何改变：
先把$\vec e$e平移到原点$(0,0,0)$(0,0,0)，观察方向$\vec g$g​旋转到-Z方向，向上方向$\vec t$t旋转到Y方向，$\vec{g}\times\vec{t}$g​×t自然也旋转到了X方向

矩阵表示：
先平移到原点：

再将观察方向$\vec g$g​ $\left(\begin{matrix}x_g\\y_g\\z_g\end{matrix}\right)$⎝⎛​xg​yg​zg​​⎠⎞​旋转到-Z$\left(\begin{matrix}0\\0\\-1\end{matrix}\right)$⎝⎛​00−1​⎠⎞​方向，向上方向$\vec t$t $\left(\begin{matrix}x_t\\y_t\\z_t\end{matrix}\right)$⎝⎛​xt​yt​zt​​⎠⎞​旋转到Y$\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)$⎝⎛​010​⎠⎞​方向，$(\vec{g}\times\vec{t})$(g​×t)旋转到X$\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)$⎝⎛​100​⎠⎞​方向这样很困难。
换一种思考方式，将X$\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)$⎝⎛​100​⎠⎞​旋转到$(\vec{g}\times\vec{t})$(g​×t)，将Z$\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)$⎝⎛​001​⎠⎞​旋转到$\vec {-g}$−g​$\left(\begin{matrix}-x_g\\-y_g\\-z_g\end{matrix}\right)$⎝⎛​−xg​−yg​−zg​​⎠⎞​，Y$\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)$⎝⎛​010​⎠⎞​旋转到$\vec t$t $\left(\begin{matrix}x_g\\y_g\\z_g\end{matrix}\right)$⎝⎛​xg​yg​zg​​⎠⎞​，然后该矩阵的逆即为所求矩阵。

因为旋转矩阵是正交矩阵，所以直接将计算得到的逆矩阵$R^{-1}_{view}$Rview−1​转置即得到所求的矩阵$R_{view}$Rview​。

Projection transformation

两种投影方式：

Orthographic（正交） Projection
Perspective（透视）Projection：会有近大远小的现象
区别：正交对应平行线条还是平行的，透视对应平行线条延长后会相交。是否有近大远小的现象。

正交投影是假设把相机拿到无限远，越远，物体的近处和远处的区别越不明显。

Orthographic（正交） Projection

相机按标准摆放位置。

假设把Z给扔掉，则’E’和‘■’都挤在了xy平面，再缩小范围，将图片缩放到$[-1,1]^{2}$[−1,1]2矩形上。

正交投影的正式操作：

1. 首先定义一个空间中的立方体$[l,r]\times[b,t]\times[f,n]$[l,r]×[b,t]×[f,n]，定义立方体的左右在x轴的哪一部分范围，下上在y轴的哪一部分范围，前后在z轴的哪一部分范围。
   因为右手坐标系，观察方向是沿着-Z方向，所以远坐标f的z值比近坐标n的z值更小。而OPENGL是左手坐标系，所以他的远坐标f的z值比近坐标n的z值更大。
2. 将该立方体映射到正则立方体（规范、标准立方体）$[-1,1]^{3}$[−1,1]3上。先将定义的立方体的中心移动到原点，然后将立方体xyz轴拉成[-1,1]的范围。
   

矩阵表示变换矩阵：（依旧是先平移到原点，再缩放）

Perspective（透视）Projection

应用的最广泛的投影。
平行线不再平行：


强调：$(x,y,z,1)$(x,y,z,1)与$(kx,ky,kz,k),k\neq0$(kx,ky,kz,k),k​=0表示的是同一个点$(x,y,z,1)$(x,y,z,1)。那么$(xz,yz,z^2,z),z\neq0$(xz,yz,z2,z),z​=0也表示的是$(x,y,z,1)$(x,y,z,1)。

透视的远平面更大。

透视操作：
先把远平面f“挤成”和近平面n一样，即将锥体变成柱体，这样就从透视变成了正交。注意以下需要遵循的规则：

• 近平面n永远不变，远平面f的z值不变
• 远平面f的中心点不变

然后就按照正交投影的操作进行。

挤压的详细步骤：
侧视图：

挤压后的坐标，同时乘z后依旧是那个坐标：

矩阵表示挤压：


将坐标与$M_{persp->ortho}$Mpersp−>ortho​矩阵相乘后：
① 在近平面(z轴坐标为n)上的任意一点$\left(\begin{matrix}x\\y\\n\\1\end{matrix}\right)$⎝⎜⎜⎛​xyn1​⎠⎟⎟⎞​不会发生任何变化。
即：

对于矩阵第三行可列方程：

即$An+B=n^2 \tag{1}$An+B=n2(1)
② 在远平面(z轴坐标为f)上的任意一点$\left(\begin{matrix}x\\y\\f\\1\end{matrix}\right)$⎝⎜⎜⎛​xyf1​⎠⎟⎟⎞​它的z坐标f不会发生任何变化。
f平面的中点变换后坐标不变：

(1)(2)联立，解得：$A=n+f,B=-nf$A=n+f,B=−nf
故透视变正交矩阵：
$M_{persp->ortho}=\left(\begin{matrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{matrix}\right)$Mpersp−>ortho​=⎝⎜⎜⎛​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​⎠⎟⎟⎞​
透视矩阵：