波的干涉

如果两个同频且具有恒定相位差的正弦波信号在同一点相遇会发生什么情况呢？

概述

位于$A$A点和$B$B点的波源同时发出同频同相的正弦波$s(t)=Asin(2\pi ft+\varphi)$s(t)=Asin(2πft+φ)
由于各个位置的点到两个波源的距离不同，接收到的来自两个波源的信号存在相位差。

$P$P点接收到的来自两个波源的信号：
$s_1(t)=A_1sin(2\pi ft+\varphi+\frac {2\pi d_1}{\lambda})$s1​(t)=A1​sin(2πft+φ+λ2πd1​​)$s_2(t)=A_2sin(2\pi ft+\varphi+\frac {2\pi d_2}{\lambda})$s2​(t)=A2​sin(2πft+φ+λ2πd2​​)

令：
$\varphi_1=\varphi+\frac{2\pi d_1}{\lambda}$φ1​=φ+λ2πd1​​$\Delta \varphi=\frac{2\pi (d_2-d_1)}{\lambda}$Δφ=λ2π(d2​−d1​)​
则：
$s_1(t)=A_1sin(2\pi ft+\varphi_1)$s1​(t)=A1​sin(2πft+φ1​) $s_2(t)=A_2sin(2\pi ft+\varphi_1+\Delta\varphi)$s2​(t)=A2​sin(2πft+φ1​+Δφ)
这两个信号具有相位差：

对应的向量合成图：

合成向量的旋转角速度不变，向量的长度与两个信号的相位差有关：
$\Delta \varphi=\frac{2\pi (d_2-d_1)}{\lambda}=\frac{2\pi f (d_2-d_1)}{c}$Δφ=λ2π(d2​−d1​)​=c2πf(d2​−d1​)​

归根结底向量的长度与$P$P点到两个波源的距离差和信号频率有关。
因此各个位置合成信号的幅度各不相同，在某些位置合成信号幅度大，在另一些位置合成信号幅度小甚至幅度为0，而且合成信号幅度大的区域和幅度小的区域相互隔开，这种现象称为波的干涉。
产生相干现象的波叫相干波。
波的干涉条件：频率相同，相位差恒定，振动方向相同。

相长干涉

两个正弦波到达$P$P点时，刚好同相：
$s_1(t)=A_1sin(2\pi ft+\varphi+\frac{2\pi d_1}{\lambda})=A_1sin(2\pi ft+\varphi)$s1​(t)=A1​sin(2πft+φ+λ2πd1​​)=A1​sin(2πft+φ)$s_1(t)=A_2sin(2\pi ft+\varphi+\frac{2\pi d_2} {\lambda})=A_2sin(2\pi ft+\varphi)$s1​(t)=A2​sin(2πft+φ+λ2πd2​​)=A2​sin(2πft+φ)
$P$P点的波形：
$s(t)=s_1(t)+s_2(t)=(A_1+A_2)sin(2\pi ft+\varphi)$s(t)=s1​(t)+s2​(t)=(A1​+A2​)sin(2πft+φ)
正弦波的幅度是来自两个波源的正弦波的幅度之和。
接收到的两个波源信号正好同相，合成信号幅度等于二者幅度之和，这种情况被称为相长干涉。

相消干涉

两个正弦波到达$P$P点时，刚好反相：
$s_1(t)=A_1sin(2\pi ft+\varphi+\frac{2\pi d_1}{\lambda})=-A_1sin(2\pi ft+\varphi)$s1​(t)=A1​sin(2πft+φ+λ2πd1​​)=−A1​sin(2πft+φ)$s_1(t)=A_2sin(2\pi ft+\varphi+\frac{2\pi d_2} {\lambda})=A_2sin(2\pi ft+\varphi)$s1​(t)=A2​sin(2πft+φ+λ2πd2​​)=A2​sin(2πft+φ)
$P$P点的波形：
$s(t)=s_1(t)+s_2(t)=(A_2-A_1)sin(2\pi ft+\varphi)$s(t)=s1​(t)+s2​(t)=(A2​−A1​)sin(2πft+φ)
正弦波的幅度是来自两个波源的正弦波的幅度之差。
接收到的两个波源信号正好反相，合成信号幅度等于二者幅度之差，这种情况被称为相消干涉。