GAMES101-Lecture 01&02

本节课主要是数学基础知识。

概述

• 光栅化（OpenGL…）Rasterization
  • 光栅化：三维空间的几何形体显示在屏幕上。
  • 实时：每秒钟至少能够生成30帧（fpx）。达不到的叫离线。
• 曲线和曲面（几何）Curves and Meshes
• 光线追踪 Ray Tracing
  • trade off：为了达到某一目标必须牺牲其他的目标
  • 慢，效果好
  • 实时光线追踪
• 动画与模拟 Animation/Simulation

计算机视觉：视觉包含一切需要猜测的，需要分析理解。
计算机视觉与计算机图形学的区别：

向量与线性代数

向量vector

$\vec{AB}=B-A$AB=B−A，A指向B
属性：方向，长度
单位向量（表示方向）长度为一，与原始向量同方向

向量基本操作：

• 加和：减法和加法互逆
  
  
  默认写法为A
  
  
  
• 点乘：结果是数量不是向量。在图形学中可以计算夹角θ。（右边公式两个向量是单位向量）满足交换律、结合律、分配率。
  
  
  
  $\vec{b}$b投影到$\vec{a}$a上：投影方向与$\vec{a}$a一致。
  
  
  计算投影的好处：
  ①可以将一个向量分解为两个向量，其中一个平行于某方向，另一个垂直某方向。
  ②可以通过点乘计算结果来判断两个向量接近程度。结果*（cosθ值）*从1到-1即表示两个向量从重合慢慢远离到达了方向完全相反。
  应用：金属的高光就是因为观察的向量与反射的出射光向量接近。
  ③可以得出前与后的信息。将向量与参考向量点乘，结果为正代表该向量相同；结果为负代表方向相反；结果为0代表方向一致。
  
• 叉乘：结果为向量，与叉积的两个向量都垂直。
  
  
  可以用来建立三维空间的直角坐标系*（右手坐标系$\vec{x}\vec{y}=+\vec{z}$xy​=+z）。左手坐标系$\vec{x}\vec{y}=-\vec{z}$xy​=−z
  
  向量$\vec{a}$a可以表示为矩阵$A^*$A∗进行运算
  
  叉积作用：
  ①判定左和右。
  eg.如何判断$\vec{b}$b在$\vec{a}$a的左侧（$\vec{a}$a逆时针旋转到$\vec{b}$b）还是右侧（$\vec{a}$a顺时针旋转到$\vec{b}$b）*？
  答：$\vec{a}\times\vec{b}$a×b为正代表$\vec{b}$b在$\vec{a}$a左侧，为负代表右侧。
  
  ②判定内和外。
  eg.判断p点是否在三角形ABC内部（逆时针排布）。
  答： $\vec{AB}\times\vec{AP}$AB×AP结果向外，P在$\vec{AB}$AB左侧；$\vec{BC}\times\vec{BP}$BC×BP结果向外，P在$\vec{BC}$BC左侧；$\vec{CA}\times\vec{CP}$CA×CP结果向外，P在$\vec{CA}$CA左侧。证明P在三角形内部；只要P在一个边的右侧，证明P在三角形外部。
  结论：如果点P一直在三角形三个边的左边（逆时针排布），或者一直在三角形三个边的右边（顺时针排布），则点P在三角形内部。否则在外部。结果为0（三角形边上）自己决定在内部在外部
  应用：光栅化要判断三角形覆盖哪些像素，对内部像素进行着色。
  

建立坐标系

定义坐标系uvw，$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$u,v,w皆为单位向量且互相垂直（点乘为0）。

上面是$\vec{p}$p​分解到三个坐标轴的公式。

矩阵

矩阵乘积
前提要求：第一个矩阵的列数需要与第二个矩阵的行数一致。

矩阵乘积没有交换率，有结合律和分配律。

矩阵和向量乘积
规定：矩阵在左边($x\times m$x×m)，向量在右边，向量是一个列数为1的矩阵($m\times1$m×1)
eg.将二维坐标系的坐标根据y轴做对称操作

转置：行列互换

⭐乘积转置：

单位矩阵：对角阵。

矩阵的逆：

⭐逆的运算

使用矩阵表示向量的点乘、叉乘

点乘就是一个数（1x1矩阵），叉乘为一个向量（mx1矩阵）

$A^*$A∗矩阵可用于旋转的推导。