读冈萨雷斯图像处理_傅里叶变换笔记

1 从猜想说起

函数 f ( x ) f(x) f(x)的泰勒展开形式（如果有），可以写成：
f ( x ) ≈ g ( x ) = g ( x 0 ) + f 1 ( x 0 ) 1 ! （ x − x 0 ） + f 2 ( x 0 ) 2 ! （ x − x 0 ） 2 + … … + f n ( x 0 ) n ! （ x − x 0 ） n f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n} f(x)≈g(x)=g(x0​)+1!f1(x0​)​（x−x0​）+2!f2(x0​)​（x−x0​）2+……+n!fn(x0​)​（x−x0​）n

关于关于泰勒展开的理解，可以参考知乎相关回答：[怎样更好地理解并记忆泰勒展开式](怎样更好地理解并记忆泰勒展开式？ - 「已注销」的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784)。

从函数的表达式上看，这是用无穷的高阶多项式，来模拟原函数 f ( x ) f(x) f(x) 。这组多项式为 ( x − x 0 ) n , n ∈ N (x-x_0)^n,n\in N (x−x0​)n,n∈N，函数可以看成是在这组多项式上的投影，多项式前的数值就是函数在该多项式的投影值。

这样，我们发现一个复杂函数可以用一系列简单函数的组合来表示。基于同样的想法，我们计划用一组简谐波 { 1 , sin ⁡ n x , cos ⁡ m x } \{1,\sin nx,\cos mx\} {1,sinnx,cosmx} ， m , n ∈ Z m,n\in Z m,n∈Z 取代泰勒函数中的多项式来模拟原函数。

把一个函数拆分成无穷多简谐波的组合，这一思想来自让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）。若假说成立，我们来看一个方波的例子 T = 2 π T=2\pi T=2π：

例子来自于知乎马同学，傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？

若用一个简谐波来模拟 { 1 , sin ⁡ x } \{1,\sin x\} {1,sinx}，模拟图如下所示：

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再增加几个三角函数， { 1 , sin ⁡ x , sin ⁡ 2 x , sin ⁡ 3 x , sin ⁡ 4 x , sin ⁡ 5 x } \{1,\sin x,\sin 2x,\sin 3x, \sin4x,\sin5x\} {1,sinx,sin2x,sin3x,sin4x,sin5x}：：

从几何上看，肯定更接近了：

如此不断地增加简谐波，会发现组成的函数与原函数原来越相近。

如此，我们认为函数由一些列简谐波组合而成的假说，是可行的。

2 傅里叶级数

2.1 周期函数的简谐波表示方法

我们在描述一个点时，假设点在一维面上，可以用一个单位向量和该点在向量方向上的取值来表示；假设点在二维平面上，用两个不同向的单位向量和该点在两条向量方向上的取值来表示。用来描述点的向量，称为基，在该方向上的取值，为基的系数。二维平面上的点 M M M 可以这样描述： a x ⃗ + b y ⃗ a\vec{x}+b\vec{y} ax +by ​， 其中 a , b a,b a,b 为向量 x ⃗ , y ⃗ \vec{x},\vec{y} x ,y ​ 的系数。

同理，如果我们把 ( 1 , sin ⁡ n x , cos ⁡ m x ) (1,\sin nx,\cos mx) (1,sinnx,cosmx) 当做一组基，那么求出其中每个基对应的系数，函数就能通过一组简谐波表示出来。基于此，假设， f ( x ) f(x) f(x) 为周期为 T T T 的函数，那么它可以写如下形式（称作傅立叶级数）：
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( 2 π n x T ) + b n sin ⁡ ( 2 π n x T ) ) f(x)={\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}\cos({\tfrac{2\pi nx}{T}})+b_{n}\sin({\tfrac{2\pi nx}{T}})\right) f(x)=2a0​​+n=1∑∞​(an​cos(T2πnx​)+bn​sin(T2πnx​))
这里的正交基 cos ⁡ ( 2 π n x T ) \cos(\frac{2\pi nx}{T}) cos(T2πnx​) 和 cos ⁡ ( 2 π n x T ) \cos(\frac{2\pi nx}{T}) cos(T2πnx​) 最大周期是 T {T} T ，它是其他基周期的倍数（注意到 f ( x ) f(x) f(x)的周期也是 T T T ，上式右边的周期为 T T T 与左边相同）。

如果不是用这一组基来做，是否也可以完成？比如完全用 sin ⁡ \sin sin 函数来表示，或者完全用 cos ⁡ \cos cos 函数来表示。

简谐波是一组周期函数，很简单的想法，就是其组成的函数应该也是周期函数。所以这里我们先探讨的是 f ( x ) f(x) f(x) 为周期函数时的傅里叶表示。

2.2 傅里叶级数 ‘三角形式’ 到 ‘复数形式’

对于我们之前的假设，其中 f ( x ) f(x) f(x) 周期为 T T T ：
f ( x ) = C + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ( 2 π n T x ) + b n s i n ( 2 π n T x ) ) , C ∈ R \displaystyle f(x)=C+\sum_{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+b_{n}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right),C\in\mathbb{R} f(x)=C+n=1∑∞​(an​cos(T2πn​x)+bn​sin(T2πn​x)),C∈R
可以改写为这样：
f ( x ) = C ⏟ 基 1 下 的 坐 标 ⋅ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a n ⏟ 对 应 基 的 坐 标 c o s ( 2 π n T x ) + b n ⏟ 对 应 基 的 坐 标 s i n ( 2 π n T x ) ) \displaystyle f(x)=\underbrace{C}_{基1下的坐标}\cdot 1+\sum_{{n=1}}^{\infty}\left(\underbrace{a_{n}}_{对应基的坐标}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+\underbrace{b_{n}}_{对应基的坐标}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right) f(x)=基1下的坐标 C​​⋅1+n=1∑∞​(对应基的坐标 an​​​cos(T2πn​x)+对应基的坐标 bn​​​sin(T2πn​x))
也就是说向量 f ( x ) f(x) f(x) 是以下正交基的线性组合：
{ 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) } \{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\}\\ {1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}
1 1 1 可以看成是 n = 0 n=0 n=0 时的 cos ⁡ ( 2 π n T ) \cos(\frac{2\pi n}{T}) cos(T2πn​)，所以它也是基。

那么可以得到：
a n = ∫ 0 T f ( x ) c o s ( 2 π n T x ) d x ∫ 0 T c o s 2 ( 2 π n T x ) d x = 2 T ∫ 0 T f ( x ) c o s ( 2 π n T x ) d x a_n=\frac{\int_{0}^{T}f(x)cos({\frac{2\pi n}{T}x})dx}{\int_{0}^{T}cos^2({\frac{2\pi n}{T}x})dx}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)cos({\frac{2\pi n}{T}x})dx an​=∫0T​cos2(T2πn​x)dx∫0T​f(x)cos(T2πn​x)dx​=T2​∫0T​f(x)cos(T2πn​x)dx

b n = ∫ 0 T f ( x ) s i n ( 2 π n T x ) d x ∫ 0 T s i n 2 ( 2 π n T x ) d x = 2 T ∫ 0 T f ( x ) s i n ( 2 π n T x ) d x b_n=\frac{\int_{0}^{T}f(x)sin({\frac{2\pi n}{T}x})dx}{\int_{0}^{T}sin^2({\frac{2\pi n}{T}x})dx}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)sin({\frac{2\pi n}{T}x})dx\\ bn​=∫0T​sin2(T2πn​x)dx∫0T​f(x)sin(T2πn​x)dx​=T2​∫0T​f(x)sin(T2πn​x)dx

C C C 也可以通过点积来求出，最终我们得到：
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( 2 π n x T ) + b n sin ⁡ ( 2 π n x T ) ) \displaystyle f(x)={\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{{n=1}}^{\infty }\left(a_{n}\cos ({\tfrac{2\pi nx}{T}})+b_{n}\sin ({\tfrac {2\pi nx}{T}})\right) f(x)=2a0​​+n=1∑∞​(an​cos(T2πnx​)+bn​sin(T2πnx​))
其中（下面的式子其实就是在求坐标）：
a n = 2 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ cos ⁡ ( 2 π n x T ) d x , n ∈ { 0 } ∪ N b n = 2 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ sin ⁡ ( 2 π n x T ) d x , n ∈ N \displaystyle a_{n}={\frac{2}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot \cos ({\tfrac {2\pi nx}{T}}) dx, n\in \{ 0\} \cup \mathbb {N}\\ b_{n}={\frac{2}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot \sin ({\tfrac {2\pi nx}{T}}) dx, n\in \mathbb {N} an​=T2​∫x0​x0​+T​f(x)⋅cos(T2πnx​)dx,n∈{0}∪Nbn​=T2​∫x0​x0​+T​f(x)⋅sin(T2πnx​)dx,n∈N
上述傅里叶表示公式中，存在 sin ⁡ \sin sin， cos ⁡ \cos cos这样的函数，若要追求形式上的简洁与统一，可以引入欧拉公式。

傅立叶级数的另外一种表现形式

根据欧拉公式及其变化形式：
e i θ = c o s θ + i s i n θ e − i θ = c o s θ − i s i n θ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\\e^{-i\theta}=cos\theta-isin\theta eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cosθ−isinθ
我们可以推出：
sin ⁡ θ = e i θ − e − i θ 2 i cos ⁡ θ = e i θ + e − i θ 2 \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\\\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\ sinθ=2ieiθ−e−iθ​cosθ=2eiθ+e−iθ​
根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( 2 π n x T ) + b n sin ⁡ ( 2 π n x T ) ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n e i 2 π n x T + e − i 2 π n x T 2 + b n e i 2 π n x T − e − i 2 π n x T 2 i ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n + i b n 2 ⋅ e − i 2 π n x T + a n − i b n 2 ⋅ e i 2 π n x T ) \begin{aligned} \displaystyle f(x) & ={\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{{n=1}}^{\infty }\left(a_{n}\cos ({\tfrac{2\pi nx}{T}})+b_{n}\sin ({\tfrac {2\pi nx}{T}})\right)\\ &={\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{{n=1}}^{\infty }\left(a_{n}\frac{e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}}+e^{-i\tfrac{2\pi nx}{T}}}{2}+b_{n}\frac{e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}}-e^{-i\tfrac{2\pi nx}{T}}}{2i}\right)\\ &={\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{{n=1}}^{\infty}\left(\frac{a_{n}+ib_n}{2}\cdot e^{-i\tfrac{2\pi nx}{T}}+\frac{a_n-ib_n}{2}\cdot e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}}\right) \end{aligned} f(x)​=2a0​​+n=1∑∞​(an​cos(T2πnx​)+bn​sin(T2πnx​))=2a0​​+n=1∑∞​(an​2eiT2πnx​+e−iT2πnx​​+bn​2ieiT2πnx​−e−iT2πnx​​)=2a0​​+n=1∑∞​(2an​+ibn​​⋅e−iT2πnx​+2an​−ibn​​⋅eiT2πnx​)​
从上面公式中可以看出， n n n 的取值范围从1到 ∞ \infty ∞，注意到 e − i 2 π n x T e^{-i\tfrac{2\pi nx}{T}} e−iT2πnx​可以写成 e i 2 π ( − n ) x T e^{i\tfrac{2\pi(-n)x}{T}} eiT2π(−n)x​， c 0 = a 0 2 = a 0 2 ⋅ e i 2 π n T ∣ n = 0 c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{a_0}{2}\cdot e^{i\tfrac{2\pi n}{T}}|_{n=0} c0​=2a0​​=2a0​​⋅eiT2πn​∣n=0​，将 n n n 的取值扩展成从 − ∞ -\infty −∞到 + ∞ +\infty +∞，则公式可以简化成：
f ( x ) = ∑ − ∞ + ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T (公式2.1) f(x)=\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n\cdot e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}} \tag{公式2.1} f(x)=−∞∑+∞​cn​⋅eiT2πnx​(公式2.1)
欧拉公式，通过引入复平面，将三角函数与频率联系在一起。$ e^{i\omega x} 中 ， 中， 中，\omega 通 常 被 认 为 是 复 平 面 上 单 位 圆 旋 转 的 频 率 。 函 数 通常被认为是复平面上单位圆旋转的频率。函数 通常被认为是复平面上单位圆旋转的频率。函数c_1\cdot e^{\tfrac{2\pi\cdot1}{T}x}+c_2\cdot e^{\tfrac{2\pi\cdot2}{T}x}$ 可以看成是两个向量 c 1 ⋅ e 2 π ⋅ 1 T x c_1\cdot e^{\tfrac{2\pi\cdot1}{T}x} c1​⋅eT2π⋅1​x 和 c 2 ⋅ e 2 π ⋅ 2 T x c_2\cdot e^{\tfrac{2\pi\cdot2}{T}x} c2​⋅eT2π⋅2​x 的和，复平面上的向量和与实数域上的向量和定义一致

它满足向量的和运算，因此当 x x x 变化时，两个向量的和能够看成是两个运动的累加。所以，傅立叶级数实际上就是把 f ( x ) f(x) f(x) 看作是圆周运动的组合。

所以，我们最开始的想法，一个函数可以由多个简谐波组成，可以通过复指数函数的引入更形象化的进行表示。我们已经知道， e i 2 π n x T e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}} eiT2πnx​ 可以看成是一个单位向量在复平面上圆周运动， 2 π n x T \tfrac{2\pi nx}{T} T2πnx​ 表示这个圆周运动的速率。每个单独的圆周运动，由不同的半径和旋转速度来定义。公式2.1表明函数可以由多个这样的圆周运动组合叠加。 x x x 不断变大时，多个运动的累加结果可以画出函数曲线如下：

不断增大的 x x x就好像是时间流逝，永不回头，所以我们也称 “时域”。

通过多次运动的组合，我们可以画出任何函数。比如：

这是地球上观察到的火星运行的轨迹（ 图片来源 ）：

我们可以通过两个圆周运动的叠加来模拟出这个曲线（ 图片来源 ）：

其实这就是地心说，感兴趣可以看下 “爱因斯坦和牛顿是否被严重高估了？ ”。

再次解读下傅里叶级数的复数形式：
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⏟ 对 应 基 的 坐 标 ⋅ e i 2 π n x T ⏟ 正 交 基 \displaystyle f(x)=\sum_{{n=-\infty}}^{\infty}\underbrace{c_{n}}_{对应基的坐标}\cdot\underbrace{e^{{i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}}_{正交基} f(x)=n=−∞∑∞​对应基的坐标 cn​​​⋅正交基 eiT2πnx​​​
其中，以下无穷集合：
{ e i 2 π n x T } , n ∈ N \{e^{{i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}\},n\in\mathbb{N} {eiT2πnx​},n∈N
是无限维向量空间中的一组基，而且还是正交单位基（ 傅立叶分析专题）。这组基实际上反映了周期运动的频率（ 2 π n T \tfrac{2\pi n}{T} T2πn​），我们以频率为基，所以这样看待傅立叶级数的方式就是“频域”。

复函数的内积，这里定义如下：
< f , g > = ∫ a b f ˉ ⋅ g d t = ∫ a b f ⋅ g ˉ d t <f,g>=\int_{a}^{b} \bar{f} \cdot gdt=\int_{a}^{b}{f}\cdot\bar{g}dt <f,g>=∫ab​fˉ​⋅gdt=∫ab​f⋅gˉ​dt
因此，对 c n c_n cn​的计算可以通过内积公式完成：
c n = < f , e − i 2 π n x T > < e i 2 π n x T , e − i 2 π n x T > c_n=\frac{<f,e^{-i\tfrac{2\pi nx}{T}}>}{<e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}},e^{-i\tfrac{2\pi nx}{T}}>} cn​=<eiT2πnx​,e−iT2πnx​><f,e−iT2πnx​>​
计算后：
c n = 1 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ e − i 2 π n x T d x c_{n}={\frac{1}{T}}\int_{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}dx cn​=T1​∫x0​x0​+T​f(x)⋅e−iT2πnx​dx
也可以写成：
c n = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( x ) ⋅ e − i 2 π n x T d x c_{n}={\frac{1}{T}}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}dx cn​=T1​∫−T/2T/2​f(x)⋅e−iT2πnx​dx

3 傅里叶变换

上面的证明都是在函数 f ( x ) f(x) f(x)周期为 T T T的基础上的，若函数不是周期函数呢？是否也拥有与周期函数相同的表示方法？其实这种情况对应频率的连续分布。

傅里叶级数中，一组基为 { 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) } \{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\} {1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}，这组基是通过 2 π n T ： ⋯   , − 2 π T , − 1 π T , 0 π T , 1 π T , 2 π T , ⋯ \frac{2\pi n}{T}：\cdots,\frac{-2\pi}{T},\frac{-1\pi}{T},\frac{0\pi}{T},\frac{1\pi}{T},\frac{2\pi}{T},\cdots T2πn​：⋯,T−2π​,T−1π​,T0π​,T1π​,T2π​,⋯ 来不断变化的，这组基是离散的，令 ω ( n ) = 2 π n T \omega(n)=\frac{2\pi n}{T} ω(n)=T2πn​ ， ω ( n ) \omega(n) ω(n) 是一个离散值。当 T T T不断增大时， ω ( n + 1 ) \omega(n+1) ω(n+1)和 ω ( n ) \omega(n) ω(n)之间的距离就变得越来越小，当 T → ∞ T\to\infty T→∞ 时，这个距离就近乎于没有，也就是说此时， ω \omega ω 可以看成是一个连续的值了。

此时从傅里叶级数表示变成了傅里叶积分表示，也就是说：周期函数和有限区间上的函数是级数表示；无穷区间上的非周期函数是积分表示。
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T = ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ e − i 2 π n x T d x ⋅ e i 2 π n x T \begin{aligned} \displaystyle f(x)&=\sum_{{n=-\infty}}^{\infty}{c_{n}}\cdot{e^{{i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}}\\ &=\sum_{{n=-\infty}}^{\infty}{\frac{1}{T}}\int_{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}dx\cdot{e^{{i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}} \end{aligned} f(x)​=n=−∞∑∞​cn​⋅eiT2πnx​=n=−∞∑∞​T1​∫x0​x0​+T​f(x)⋅e−iT2πnx​dx⋅eiT2πnx​​
周期推向无穷的时候（ $ T\to\infty ） ， 变 量 ），变量 ），变量\omega$ 是一个连续变量。根据积分的定义，函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以写成下面形式：
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ ω 2 π n ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x ⋅ e i ω x \begin{aligned} \displaystyle f(x)&=\sum_{{n=-\infty}}^{\infty}{\frac{\omega}{2\pi n}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx\cdot{e^{i\omega x}}\\ \end{aligned} f(x)​=n=−∞∑∞​2πnω​∫−∞+∞​f(x)⋅e−iωxdx⋅eiωx​
ω \omega ω 是连续变量， ω n \frac{\omega}{n} nω​ 可以看成是 Δ ω \Delta\omega Δω ，形式上等同于积分，写成如下形式：
∑ n = − ∞ ∞ ω 2 π n = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π d ω \sum_{{n=-\infty}}^{\infty}{\frac{\omega}{2\pi n}}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}d\omega n=−∞∑∞​2πnω​=∫−∞∞​2π1​dω
此时，公式转化为：
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x ⋅ e i ω x d ω (公式1) \begin{aligned} \displaystyle f(x) &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx\cdot{e^{i\omega x}}d\omega\tag{公式1} \end{aligned} f(x)​=∫−∞∞​2π1​∫−∞+∞​f(x)⋅e−iωxdx⋅eiωxdω​(公式1)
注意到，公式1中含有常数项 1 2 π \frac{1}{2\pi} 2π1​ ，若令 F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx F(ω)=2π1​∫−∞∞​f(x)⋅e−iωxdx ，可以得到 ：
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T T = ∞ }    ⟹    f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x d ω (傅里叶形式1) \left. \begin{aligned} \displaystyle f(x)=\sum_{{n=-\infty}}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}\\ T=\infty\end{aligned}\right\}\implies f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega x}d\omega\tag{傅里叶形式1} f(x)=n=−∞∑∞​cn​⋅eiT2πnx​T=∞​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​⟹f(x)=∫−∞∞​F(ω)eiωxdω(傅里叶形式1)
若令 F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx F(ω)=∫−∞∞​f(x)⋅e−iωxdx ，可以得到：
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T T = ∞ }    ⟹    f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x d ω (傅里叶形式2) \left. \begin{aligned} \displaystyle f(x)=\sum_{{n=-\infty}}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac{2\pi nx}{T}}}}\\ T=\infty\end{aligned}\right\}\implies f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega x}d\omega\tag{傅里叶形式2} f(x)=n=−∞∑∞​cn​⋅eiT2πnx​T=∞​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​⟹f(x)=2π1​∫−∞∞​F(ω)eiωxdω(傅里叶形式2)
F ( ω ) F(\omega) F(ω)就是傅立叶变换，得到的就是频域曲线。

下面两者称为傅立叶变换对，可以相互转换：
f ( x )    ⟺    F ( ω ) f(x)\iff F(\omega ) f(x)⟺F(ω)
此外，根据凑微分的公式：
∫ f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x = ∫ f ( φ ( x ) ) d φ ( x ) = 令 φ ( x ) = μ ∫ f ( μ ) d μ \int f(\varphi(x))\varphi\prime(x)dx=\int f(\varphi(x))d\varphi(x)\overset{\text{令}\varphi(x)=\mu}{=}\int f(\mu)d\mu ∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(φ(x))dφ(x)=令φ(x)=μ∫f(μ)dμ
假设 ω = 2 π μ \omega=2\pi\mu ω=2πμ ，可以得到傅里叶变换的第三种形式，即
F ( 2 π μ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i 2 π μ x 2 π d x    ⟹    F ( μ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i 2 π μ x d x F(2\pi\mu )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i2\pi\mu x}2\pi dx \implies F(\mu )=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i2\pi\mu x}dx F(2πμ)=2π1​∫−∞∞​f(x)e−i2πμx2πdx⟹F(μ)=∫−∞∞​f(x)e−i2πμxdx
同理，可以得到该形式下的傅里叶逆变换：
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( μ ) e i 2 π μ x d μ f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(\mu)e^{i2\pi\mu x}d\mu f(x)=∫−∞∞​F(μ)ei2πμxdμ

4 傅里叶级数/变换基的正交性

正交，就是在内积的意义下，两个量作用值为0，也就是说一个向量在另一个向量上的内积意义上的投影为0。用我们熟悉的平面上二维坐标轴 x ⃗ , y ⃗ \vec{x},\vec{y} x ,y ​ 举例子，他们的正交性就是通过相互垂直体现的。

如果定义，函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x)的内积表示为 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ˉ ( x ) d x \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g}(x)dx ∫−∞∞​f(x)gˉ​(x)dx ，那么 e i w x e^{iwx} eiwx 可以看作是一组基。下面来看这组基的正交性。

傅立叶级数能将一般的周期现象用最简单的周期函数-正余弦表示，意义非常大。因为三角函数系具有正交性，这种表示才成为可能。

三角函数族：
{ 0 , 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , . . . , s i n n x , c o s n x , . . . , } , n ∈ Z \{0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx,...,\},n\in Z {0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx,...,},n∈Z
三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
∫ − π π s i n ( m x ) s i n ( n x ) d x = 0 , m ≠ n ∫ − π π c o s ( m x ) c o s ( n x ) d x = 0 , m ≠ n ∫ − π π s i n ( m x ) c o s ( n x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)sin(nx)dx=0,m\neq n\\ \int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)cos(nx)dx=0,m\neq n\\ \int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)cos(nx)dx=0\\ ∫−ππ​sin(mx)sin(nx)dx=0,m​=n∫−ππ​cos(mx)cos(nx)dx=0,m​=n∫−ππ​sin(mx)cos(nx)dx=0
三角函数族的正交性成立，即满足基的正交性。

1、证明三角函数族的正交性

首先证明 ∫ − π π s i n m x ⋅ s i n n x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sinmx\cdot sinnx=0 ∫−ππ​sinmx⋅sinnx=0 ， m ≠ n m\neq n m​=n
∫ − π π s i n m x ⋅ s i n n x = − 1 2 [ ∫ − π π c o s ( n + m ) x d x − ∫ − π π c o s ( n − m ) x d x ] = − 1 2 [ 1 n + m s i n ( n + m ) x ∣ − π π + 1 n − m s i n ( n − m ) x ∣ − π π ] = 0 \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}sinmx\cdot sinnx &=-\frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}cos(n+m)xdx-\int_{-\pi}^{\pi}cos(n-m)xdx]\\ &=-\frac{1}{2}[\frac{1}{n+m}sin(n+m)x|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n-m}sin(n-m)x|_{-\pi}^{\pi}]\\ &=0 \end{aligned} ∫−ππ​sinmx⋅sinnx​=−21​[∫−ππ​cos(n+m)xdx−∫−ππ​cos(n−m)xdx]=−21​[n+m1​sin(n+m)x∣−ππ​+n−m1​sin(n−m)x∣−ππ​]=0​
另外两式亦可用该法证明，故三角函数族的正交性得证。

2、证明傅立叶变换基的正交性

傅立叶变换： F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t \mathscr{F}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt F(ω)=∫−∞+∞​f(t)e−iωtdt ，它的基可以表示为： { 1 , e i ω t , ⋯   , e i n ω t , ⋯   } \{1,e^{i\omega t},\cdots,e^{in\omega t},\cdots\} {1,eiωt,⋯,einωt,⋯}， n ∈ Z n\in Z n∈Z。

复数的正交条件：若有一在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1​,t2​) 内互相正交的复变函数集 g 1 ( t ) , g 2 ( t ) , ⋯   , g n ( t ) g_1(t),g_2(t),\cdots,g_n(t) g1​(t),g2​(t),⋯,gn​(t) 则在此区间内，各函数间应具有一下关系：
∫ t 1 t 2 g l ( t ) g m ∗ ( t ) d t = 0 , l ≠ m \int_{t_1}^{t_2}g_l(t)g_m^*(t)dt=0, l\neq m ∫t1​t2​​gl​(t)gm∗​(t)dt=0,l​=m
在此， g m ∗ ( t ) d t g_m^*(t)dt gm∗​(t)dt表示复数的共轭。

证明当 n ≠ m n\neq m n​=m 时 ∫ t 0 t 0 + T e i n ω t e − i m ω t d t = 0 \int_{t_0}^{t_0+T}e^{in\omega t}e^{-im\omega t}dt=0 ∫t0​t0​+T​einωte−imωtdt=0 证明如下：
∫ t 0 t 0 + T e i n ω t e − i m ω t d t = ∫ t 0 t 0 + T e i ( n ω t − m ω t ) d t = ∫ t 0 t 0 + T [ cos ⁡ ( n ω t − m ω t ) + i sin ⁡ ( n ω t − m ω t ) ] d t = ∫ t 0 t 0 + T cos ⁡ n ω t cos ⁡ m ω t d t + ∫ t 0 t 0 + T sin ⁡ n ω t sin ⁡ m ω t d t + i ∫ t 0 t 0 + T sin ⁡ n ω t cos ⁡ m ω t d t − i ∫ t 0 t 0 + T cos ⁡ n ω t sin ⁡ m ω t d t = 0 (欧拉公式) \begin{aligned} &\int_{t_0}^{t_0+T}e^{in\omega t}e^{-im\omega t}dt\\ &=\int_{t_0}^{t_0+T}e^{i(n\omega t-m\omega t)}dt\\ &=\int_{t_0}^{t_0+T}[\cos(n\omega t-m\omega t)+i\sin( n\omega t-m\omega t)]dt \tag{欧拉公式}\\ &=\int_{t_0}^{t_0+T}\cos n\omega t\cos m\omega tdt+\int_{t_0}^{t_0+T}\sin n\omega t\sin m\omega tdt+i\int_{t_0}^{t_0+T}\sin n\omega t\cos m\omega tdt-i\int_{t_0}^{t_0+T}\cos n\omega t\sin m\omega tdt\\ &=0 \end{aligned} ​∫t0​t0​+T​einωte−imωtdt=∫t0​t0​+T​ei(nωt−mωt)dt=∫t0​t0​+T​[cos(nωt−mωt)+isin(nωt−mωt)]dt=∫t0​t0​+T​cosnωtcosmωtdt+∫t0​t0​+T​sinnωtsinmωtdt+i∫t0​t0​+T​sinnωtcosmωtdt−i∫t0​t0​+T​cosnωtsinmωtdt=0​(欧拉公式)
综上所述，傅立叶变换的基具有正交性。

证明傅立叶变换基的归一性

傅立叶变换的基是单位正交基，则有
∣ e i n ω t ∣ = ∣ c o s n ω t + i s i n n ω t ∣ = ( c o s n ω t ) 2 + ( s i n n ω t ) 2 = 1 |e^{in\omega t}|=|cosn\omega t+isinn\omega t|=\sqrt{(cosn\omega t)^2+(sinn\omega t)^2}=1 ∣einωt∣=∣cosnωt+isinnωt∣=(cosnωt)2+(sinnωt)2 ​=1
得证，傅立叶变换的基具有归一性。

再来看傅里叶变换（以形式2举例），可以发现， F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx F(ω)=∫−∞∞​f(x)⋅e−iωxdx 是函数 f ( x ) f(x) f(x)在频率 e i ω x e^{i\omega x} eiωx 上的幅值。

重新审视函数 f ( x ) f(x) f(x)，在每一个 x x x 的取值中，都有 f ( x ) f(x) f(x) 与之对应，那么，可以把每一个 x x x 看成是一个维度，而对应的 f ( x ) f(x) f(x)看成是在这些维度上的幅值。将函数进行傅里叶变换后，维度由原来的 x x x 变成了 e i w x e^{iwx} eiwx ，如此一来，傅里叶变换就可以当作函数在不同坐标系下的表示。

类似的还有泰勒展开，可以认为是函数的坐标系变为 { 1 , x , x 2 , . . . , x n , . . . } \{1,x,x^2,...,x^n,...\} {1,x,x2,...,xn,...} 。

函数映射在不同坐标系下，能够显现出的性质也不同，如同诗中所说的横看成岭侧成峰，傅里叶变换的意义也就是在笛卡尔坐标系下，我们难以处理的问题，换到另一个坐标系下进行处理，可能就会有简单的方法。

5 傅里叶变换例子

例1 函数 f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1 的傅里叶变换是多少？

函数 f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1（或者说常数 1）用傅里叶变换后在频域中的表示为 δ ( t ) δ(t) δ(t)中的 2 π 2π 2π
δ ( t ) ⟺ 1 1 ⟺ 2 π δ ( ω ) (傅里叶变换对) \delta(t) \Longleftrightarrow 1\\ 1 \Longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\tag{傅里叶变换对} δ(t)⟺11⟺2πδ(ω)(傅里叶变换对)

F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ 1 ⋅ e − i ω x d x = − 1 2 π ω i ∫ − ∞ ∞ 1 ⋅ e − i ω x d ( − i ω x ) = − 1 2 π ω i ∫ − ∞ ∞ 1 ⋅ e − i ω x d ( − i ω x ) ， = − 1 2 π ω i e − i ω x ∣ − T T = − 1 2 π ω i ( e − i ω T − e i ω T ) = − 1 2 π ω i [ c o s ω T − i s i n ω T − c o s ω T − i s i n ω T ] = − 1 2 π ω i [ − 2 i s i n ω T ] = s i n ω T π ω (假设x范围为T) \begin{aligned} F(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-i\omega x}dx\\ &=\frac{-1}{2\pi\omega i}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-i\omega x}d(-i\omega x)\\ &=\frac{-1}{2\pi\omega i}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-i\omega x}d(-i\omega x)，\tag{假设x范围为T}\\ &=\frac{-1}{2\pi\omega i}e^{-i\omega x}|_{-T}^T\\ &=\frac{-1}{2\pi\omega i}(e^{-i\omega T}-e^{i\omega T})\\ &=\frac{-1}{2\pi\omega i}[cos\omega T-isin\omega T-cos\omega T-isin\omega T]\\ &=\frac{-1}{2\pi\omega i}[-2isin\omega T]\\ &=\frac{sin\omega T}{\pi\omega} \end{aligned} F(ω)​=2π1​∫−∞∞​f(x)⋅e−iωxdx=2π1​∫−∞∞​1⋅e−iωxdx=2πωi−1​∫−∞∞​1⋅e−iωxd(−iωx)=2πωi−1​∫−∞∞​1⋅e−iωxd(−iωx)，=2πωi−1​e−iωx∣−TT​=2πωi−1​(e−iωT−eiωT)=2πωi−1​[cosωT−isinωT−cosωT−isinωT]=2πωi−1​[−2isinωT]=πωsinωT​​(假设x范围为T)

这里，根据公式：
δ ( x ) = lim ⁡ k → ∞ 1 π s i n ( k x ) x \delta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{sin(kx)}{x} δ(x)=k→∞lim​π1​xsin(kx)​

严格来说，通过极限构造的数学公式并不是冲激函数本身，只是通过数学构造因此， f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1 的傅里叶变换为冲激函数 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 本身。

下面计算上式的逆变换，假设公式为： f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ⋅ e i ω x d ω f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega f(x)=∫−∞∞​F(ω)⋅eiωxdω ，此时 F ( ω ) = δ ( ω ) F(\omega)=\delta(\omega) F(ω)=δ(ω)
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ⋅ e i ω x d ω = ∫ − ∞ ∞ δ ( ω ) ⋅ e i ω x d ω ， = e 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( ω ) d ω = 1 (根据冲激函数的性质) \begin{aligned} f(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega，\tag{根据冲激函数的性质}\\ &=e^0\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)d\omega\\ &=1 \end{aligned} f(x)​=∫−∞∞​F(ω)⋅eiωxdω=∫−∞∞​δ(ω)⋅eiωxdω，=e0∫−∞∞​δ(ω)dω=1​(根据冲激函数的性质)
因此第一种形式下，函数 f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1 的傅里叶变换为 δ ( x ) \delta(x) δ(x)， δ ( x ) \delta(x) δ(x)的逆变换为 1。
1    ⟺    δ ( x ) 1\iff\delta(x) 1⟺δ(x)
如果傅里叶变换是第二种形式： F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx F(ω)=∫−∞∞​f(x)⋅e−iωxdx ，则函数 f ( x ) f(x) f(x) 的傅里叶变换为 2 π δ ( x ) 2\pi\delta(x) 2πδ(x) 。
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ⋅ e − i ω x d x = ∫ − ∞ ∞ 1 ⋅ e − i ω x d x = − 1 ω i ∫ − ∞ ∞ 1 ⋅ e − i ω x d ( − i ω x ) = − 1 ω i ∫ − ∞ ∞ 1 ⋅ e − i ω x d ( − i ω x ) ， = − 1 ω i e − i ω x ∣ − T T = − 1 ω i ( e − i ω T − e i ω T ) = − 1 ω i [ c o s ω T − i s i n ω T − c o s ω T − i s i n ω T ] = − 1 ω i [ − 2 i s i n ω T ] = 2 π s i n ω T π ω (假设x范围为T) \begin{aligned} F(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-i\omega x}dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-i\omega x}dx\\ &=\frac{-1}{\omega i}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-i\omega x}d(-i\omega x)\\ &=\frac{-1}{\omega i}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot e^{-i\omega x}d(-i\omega x)，\tag{假设x范围为T}\\ &=\frac{-1}{\omega i}e^{-i\omega x}|_{-T}^T\\ &=\frac{-1}{\omega i}(e^{-i\omega T}-e^{i\omega T})\\ &=\frac{-1}{\omega i}[cos\omega T-isin\omega T-cos\omega T-isin\omega T]\\ &=\frac{-1}{\omega i}[-2isin\omega T]\\ &=2\pi\frac{sin\omega T}{\pi\omega} \end{aligned} F(ω)​=∫−∞∞​f(x)⋅e−iωxdx=∫−∞∞​1⋅e−iωxdx=ωi−1​∫−∞∞​1⋅e−iωxd(−iωx)=ωi−1​∫−∞∞​1⋅e−iωxd(−iωx)，=ωi−1​e−iωx∣−TT​=ωi−1​(e−iωT−eiωT)=ωi−1​[cosωT−isinωT−cosωT−isinωT]=ωi−1​[−2isinωT]=2ππωsinωT​​(假设x范围为T)
逆变换为：
f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ⋅ e i ω x d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ 2 π δ ( ω ) ⋅ e i ω x d ω = ∫ − ∞ ∞ δ ( ω ) ⋅ e i ω x d ω = e 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( ω ) d ω = 1 (根据冲激函数性质) \begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\pi\delta(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega \tag{根据冲激函数性质}\\ &=e^0\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)d\omega\\ &=1 \end{aligned} f(x)​=2π1​∫−∞∞​F(ω)⋅eiωxdω=2π1​∫−∞∞​2πδ(ω)⋅eiωxdω=∫−∞∞​δ(ω)⋅eiωxdω=e0∫−∞∞​δ(ω)dω=1​(根据冲激函数性质)
第二种形式下的傅里叶变换对为：
1    ⟺    2 π δ ( x ) 1\iff2\pi\delta(x) 1⟺2πδ(x)

例2 冲激函数 f ( x ) = δ ( x ) f(x)=\delta(x) f(x)=δ(x) 的傅里叶变换是多少？

利用傅里叶变换第一种形式计算， F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x F(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}dx F(ω)=2π1​∫−∞∞​f(x)e−iωxdx
F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) e − i ω x d x = 1 2 π e 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 2 π \begin{aligned} F(\omega )&=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}dx\\ &=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^\infty \delta(x)e^{-i\omega x}dx\\ &=\frac{1}{2\pi }e^0\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx\\ &=\frac{1}{2\pi} \end{aligned} F(ω)​=2π1​∫−∞∞​f(x)e−iωxdx=2π1​∫−∞∞​δ(x)e−iωxdx=2π1​e0∫−∞∞​δ(x)dx=2π1​​
计算逆变换， f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ⋅ e i ω x d ω f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega f(x)=∫−∞∞​F(ω)⋅eiωxdω ，
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ⋅ e i ω x d ω = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π ⋅ e i ω x d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i ω x d ω = 1 2 π x i ∫ − T T e i ω x d i ω x = 1 2 π x i e i ω x ∣ − T T = 1 2 π x i ( e i T x − e − i T x ) = 1 2 π x i ( c o s T x + i s i n T x − c o s T x + i s i n T x ) = 1 2 π x i ( 2 i s i n T x ) = s i n T x π x \begin{aligned} f(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{i\omega x}d\omega\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot e^{i\omega x}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi xi}\int_{-T}^{T}e^{i\omega x}di\omega x\\ &=\frac{1}{2\pi xi}e^{i\omega x}|_{-T}^{T}\\ &=\frac{1}{2\pi xi}(e^{iTx}-e^{-iTx})\\ &=\frac{1}{2\pi xi}(cosTx+isinTx-cosTx+isinTx)\\ &=\frac{1}{2\pi xi}(2isinTx)\\ &=\frac{sinTx}{\pi x}\\ \end{aligned} f(x)​=∫−∞∞​F(ω)⋅eiωxdω=∫−∞∞​2π1​⋅eiωxdω=2π1​∫−∞∞​eiωxdω=2πxi1​∫−TT​eiωxdiωx=2πxi1​eiωx∣−TT​=2πxi1​(eiTx−e−iTx)=2πxi1​(cosTx+isinTx−cosTx+isinTx)=2πxi1​(2isinTx)=πxsinTx​​
T → ∞ T\to\infty T→∞ 时，函数 f ( x ) = lim ⁡ T → ∞ s i n T x π x = δ ( x ) f(x)=\lim_{T\to\infty}\frac{sinTx}{\pi x}=\delta(x) f(x)=limT→∞​πxsinTx​=δ(x) 。

δ ( x ) \delta(x) δ(x)变换对为：
δ ( x )    ⟺    1 2 π \delta(x)\iff\frac{1}{2\pi} δ(x)⟺2π1​

例3 冲激串函数的傅里叶变换

冲激串的定义为无限多个离散的周期冲激单元 Δ T \Delta T ΔT 之和：
s T ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) s_{T}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-n T) sT​(x)=n=−∞∑∞​δ(x−nT)
从定义上可知，冲激串 s T s_{T} sT​ 是一个关于 x x x 的不连续函数（周期为 T T T ），周期函数的傅里叶变换是一个傅里叶级数形式，因此，冲激串的傅里叶逆变换 s T s_{ T} sT​ 表示为：
s T ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i ω x ( ω = 2 π n T ) s_{T}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\omega x} \tag{$\omega=\frac{2\pi n}{T}$} sT​(x)=n=−∞∑∞​cn​eiωx(ω=T2πn​)
在一个周期内计算，因此 s s s中只取 n = 0 n=0 n=0， s T ( x ) ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 δ ( t ) e − i ω t d t ⋅ e i ω x s_{T}(x)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t) e^{-i\omega t}dt\cdot e^{i\omega x} sT​(x)∑n=−∞∞​T1​∫−T/2T/2​δ(t)e−iωtdt⋅eiωx
根据 ∫ − T / 2 T / 2 δ ( t ) e − i ω t d t = e 0 = 1 \int_{-T/2}^{T/2}\delta(t) e^{-i\omega t}dt=e^{0}=1 ∫−T/2T/2​δ(t)e−iωtdt=e0=1,冲激函数定义： s T ( x ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ e i ω x s_{T}(x)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\omega x} sT​(x)=T1​∑n=−∞∞​eiωx

由于 e i ω x e^{i\omega x} eiωx的傅里叶变换：
这里 μ \mu μ是一个频率变量。， ω \omega ω 是定值， x x x 是变量
F { e i ω x } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i ω x ⋅ e − i μ x d x = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i ( ω − μ ) x d x = δ ( ω − μ ) = δ ( μ − ω ) \begin{aligned} \mathscr F\{e^{i\omega x}\}&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\cdot e^{-i\mu x}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\omega-\mu)x}dx \\ &=\delta(\omega-\mu)=\delta(\mu-\omega) \end{aligned} F{eiωx}​=2π1​∫−∞∞​eiωx⋅e−iμxdx=2π1​∫−∞∞​ei(ω−μ)xdx=δ(ω−μ)=δ(μ−ω)​
最后一个变换，是由于冲激函数为偶函数。
证明：
设 f 1 ( x ) = δ ( x − x 1 ) f_1(x)=\delta(x-x_1) f1​(x)=δ(x−x1​)， f 2 ( x ) = δ ( x − x 2 ) f_2(x)=\delta(x-x_2) f2​(x)=δ(x−x2​)，作积分 ∫ − ∞ ∞ f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x \int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)f_2(x)dx ∫−∞∞​f1​(x)f2​(x)dx
∫ − ∞ ∞ f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ δ ( x − x 1 ) f 2 ( x ) d x = f 2 ( x 1 ) = δ ( x 1 − x 2 ) \int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)f_2(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_1)f_2(x)dx=f_2(x_1)=\delta(x_1-x_2) ∫−∞∞​f1​(x)f2​(x)dx=∫−∞∞​δ(x−x1​)f2​(x)dx=f2​(x1​)=δ(x1​−x2​)
同理
∫ − ∞ ∞ f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ δ ( x − x 1 ) f 2 ( x ) d x = f 2 ( x 1 ) = δ ( x 1 − x 2 ) \int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)f_2(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_1)f_2(x)dx=f_2(x_1)=\delta(x_1-x_2) ∫−∞∞​f1​(x)f2​(x)dx=∫−∞∞​δ(x−x1​)f2​(x)dx=f2​(x1​)=δ(x1​−x2​)
所以，
δ ( x 2 − x 1 ) = δ ( x 1 − x 2 ) \delta(x_2-x_1)=\delta(x_1-x_2) δ(x2​−x1​)=δ(x1​−x2​)
因此冲激函数是偶函数。

再计算冲激串的傅里叶变换 S T S_{T} ST​ 表示为：
S T ( μ ) = F { 1 T ∑ n = − ∞ ∞ e i ω x } = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ F { e i ω x } = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( μ − ω ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( μ − 2 π n T ) \begin{aligned}S_{T}(\mu)&=\mathscr F\{\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\}= \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathscr F\{e^{i\omega x}\}\\&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\omega)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{2\pi n}{T})\end{aligned} ST​(μ)​=F{T1​n=−∞∑∞​eiωx}=T1​n=−∞∑∞​F{eiωx}=T1​n=−∞∑∞​δ(μ−ω)=T1​n=−∞∑∞​δ(μ−T2πn​)​

6 单变量的离散傅里叶变换（DFT）

假设 f ( x ) f(x) f(x) 是一个带限函数，
F ~ ( u ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ~ e − i ω x d x (6.1) \tilde{F}(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}e^{-i\omega x}dx \tag {6.1} F~(u)=2π1​∫−∞∞​f~​e−iωxdx(6.1)
F ~ ( u ) = 1 Δ T ∑ n = − ∞ ∞ F ( μ − 2 π n Δ T ) (6.2) \tilde{F}(u)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{2\pi n}{\Delta T})\tag {6.2} F~(u)=ΔT1​n=−∞∑∞​F(μ−ΔT2πn​)(6.2)

看6.2式，根据卷积的性质，积的傅里叶变换等于傅里叶变换的卷积。
S T ( μ ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( μ − 2 π n T ) \begin{aligned} S_{T}(\mu)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{2\pi n}{T}) \end{aligned} ST​(μ)=T1​n=−∞∑∞​δ(μ−T2πn​)​
所以，根据卷积性质，
F ~ ( u ) = F { f ~ ( t ) } = F { f ( t ) s Δ T ( t ) } = F ( μ ) ★ S ( μ ) \tilde{F}(u)={\mathscr F}\{\tilde f(t)\}={\mathscr F}\{f(t)s_{\Delta T}(t)\}=F(\mu)\bigstar S(\mu) F~(u)=F{f~​(t)}=F{f(t)sΔT​(t)}=F(μ)★S(μ)
卷积定义
F ~ ( u ) = ∫ − ∞ ∞ F ( τ ) S ( μ − τ ) d τ \tilde{F}(u)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)S(\mu-\tau)d\tau F~(u)=∫−∞∞​F(τ)S(μ−τ)dτ
冲激串傅里叶变换
F ~ ( u ) = 1 T ∫ − ∞ ∞ F ( τ ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( μ − 2 π n T − τ ) d τ = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( τ ) δ ( μ − 2 π n T − τ ) d τ \tilde{F}(u)=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{2\pi n}{T}-\tau)d\tau=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\tau)\delta(\mu-\frac{2\pi n}{T}-\tau)d\tau F~(u)=T1​∫−∞∞​F(τ)∑n=−∞∞​δ(μ−T2πn​−τ)dτ=T1​∑n=−∞∞​∫−∞∞​F(τ)δ(μ−T2πn​−τ)dτ

在 τ = μ − 2 π n T \tau=\mu-\frac{2\pi n}{T} τ=μ−T2πn​时才有意义
F ~ ( u ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ F ( μ − 2 π n T ) (6.3 ) \tilde{F}(u)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{2\pi n}{T}) \tag {6.3 } F~(u)=T1​n=−∞∑∞​F(μ−T2πn​)(6.3 )
从6.3式看，采样后函数的傅里叶变换，是一个周期函数。