三极管小信号H模型

概述
BJT小信号模型推导
小信号简化模型

1. 概述

BJT的小信号模型是在静态工作点附近推导出的模型，使用小信号模型可以定量计算放大电路的 $A_v$ ， $R_i$ , $R_o$ 这些关键参数，小信号模型相比图解法计算方便，更适用于电路定量分析。

2. BJT小信号模型推导

BJT是一个有源双口网络，其示意图如下所示：
三极管小信号H模型
若以 $i_B$ , $v_{CE}$ 做为自变量， $v_{BE}$ 和 $i_C$ 做为因变量，可列出如下方程
$v_{BE}=f_1\left(i_B,v_{CE}\right)$ $i_C=f_2\left(i_B,V_{CE}\right)$
对上式求全微分得：
$dv_{BE}=\frac {\partial v_{BE}} {\partial i_B}|_{v_{CEQ}}di_B +\frac {\partial v_{BE}} {\partial v_{CE}}|_{I_{BQ}}dv_{CE}$ $di_C=\frac {\partial i_C} {\partial i_B}|_{v_{CEQ}}di_B +\frac {\partial i_C} {\partial v_{CE}}|_{I_{BQ}}dv_{CE}$
上式微分方程中， $dv_{BE}$ 为 $v_{BE}$ 的变化量， $di_C$ 为 $i_C$ 的变化量; $dv_{BE}$ 的变化量可用 $v_{be}$ 表示，同理 $di_C$ 、 $dv_{CE}$ 、 $di_B$ 的变化量可用 $di_c$ 、 $dv_{ce}$ 、 $di_B$ 表示。
全微分方程可改写为：
$v_{be}=h_{ie}i_b+h_{re}v_{ce}$ $i_c=h_{fe}i_b+h_{oe}v_{ce}$
$h_{ie}=\frac {\partial v_{BE}} {\partial i_B}|_{v_{CEQ}}$ 是BJT输出端交流短路 $\left(v_{ce}=0,v_{CE}=V_{CEQ}\right)$ 时的输入电阻，即小信号下b-e极间的动态电阻，单位为欧，用 $r_{be}$ 表示；
$h_{fe}=\frac {\partial i_C} {\partial i_B}|_{v_{CEQ}}$ 是BJT输出端交流短路时的正向电流传输比，或电流放大系数，即 $\beta$ ;
$h_{re}=\frac {\partial v_{BE}} {\partial v_{CE}}|_{I_{BQ}}$ 是BJT输入端交流开路 $\left(i_b=0,i_B=I_{BQ}\right)$ 的反向电压传输比；
$h_oe=\frac {\partial i_C} {\partial v_{CE}}|_{I_{BQ}}$ 是BJT输入端交流开路时的输出电导，单位为西(S)，也可用 $\frac {1} {r_{ce}}$ 表示。
注：小信号模型中的电流源 $h_{fe}i_b$ 受 $i_b$ 控制，是受控电流源，当 $i_b=0$ 时,其电流也不为0，另电流的流向由 $i_b$ 决定；$h_{re}v_{ce}为受控电压源
全微分方程对应的小信号模型如下图所示：
三极管小信号H模型

3. 小信号简化模型

BJT工作在放大区时， $h_{re}$ 和 $h_{oe}$ 很小，因此在小信号模型中将这两个参数忽略，计算时产生的误差很小；如果不满足 $r_{ce}>>R_c$ 或 $r_{ce}>>R_L$ $，则分析电路时应考虑$ r_{ce}$的影响。
简化后的小信号模型如下图所示：
三极管小信号H模型
$r_{be}$ 可由下式求出：
$r_{be}=r_{bb'}+\left(1+\beta\right)\left(r_e+r'e\right)$ (3-1)
其中, $r_{bb'}$ 为基区的体电阻， $r'_e$ 为发射区的体电阻， $r_e$ 为发射结电阻； $r_{bb'}$ 和 $r_e'$ 仅与掺杂浓度及制造工艺有关，由于发射区掺杂浓度远高， $r_e'$ 可以忽略；根据PN结电流方程，可以推导出 $r_e=\frac {V_T} {I_{EQ}}$ , 常温下 $r_e=\frac {26\left(mV\right)} {I_{EQ}\left(mA\right)}$ ,常温下有:
$r_{be}=r_{bb'}+\left(1+\beta\right)\frac {26\left(mV\right)} {I_{EQ}\left(mA\right)}$ (3-2)
注：式(3-2)计算 $r_{be}$ 的值适用于 $0.1mA<I_{EQ}<5mA$ ，超出范围误差较大