新书速递
导读：无论是关于自然界和人类社会的科学探索，还是关于工程技术的研究开发，都离不开对相关问题进行数学方面的定量表示和分析，数学理论和数学思维的重要性是毋庸置疑的。然而，数学理论的学习和数学思维的培养并不是一件容易的事情。今天为大家介绍《优美的数学思维》。
本书通过考察不同数学领域中的多种数学问题和论证关系，以生动有趣的实际问题求解为导向，对相关的数学思维与证明方法做了比较系统的归纳总结，并给出了细致的讨论，对国内数学思维的教学和研究具有很高的参考价值。本书的基本特点主要表现在如下三个方面：
第一，每章开始均提出了若干生动有趣的问题，然后围绕对这些问题的求解引入相关的数学问题、数学知识和证明技巧.例如，通过简单的古巴比伦问题引出实数系统的加法、乘法运算定义和运算律，非常生动且易于理解，能够有效地激发学生的学习兴趣，唤醒学生的数学潜能。
第二，涉及的数学内容非常广泛，不仅包含函数与集合、数学归纳法理论、组合计算与组合证明、整数理论、数理逻辑、图论等离散数学，而且包含微积分与实数理论等连续数学，覆盖了多个数学分支.通过对这些来自不同分支的知识内容进行巧妙安排和设计，使它们在逻辑上层层展开，环环相扣，形成一套相对完备的知识体系。
第三，在可读性方面做了很好的设计.从一开始就直接给出实数系统的假设，把自然数和有理数作为实数的特例进行介绍，而把由自然数逐步构造有理数和实数的讨论作为附录放在最后，由此巧妙地避开了从一开始就要对实数系统进行讨论的复杂局面，使读者无须具备极限和微积分的预备知识就可以进行阅读和学习。
主要内容
本书以大量生动有趣的问题求解实例为背景，使用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍优美的数学思维和严谨的证明方法，所涉及的数学内容不仅包含函数与集合、数学归纳法理论、组合计算与组合证明、整数理论、数理逻辑、图论等离散数学，而且包含微积分与实数理论等连续数学，覆盖了多个不同的数学领域。本书内容在逻辑上层层展开、环环相扣，形成一套相对完备的知识体系。本书的内容可以有效地激发学生的学习兴趣，唤醒学生的数学潜能和数学思维。
目录
译者序
写给教师
写给学生
第一部分基本概念
第1章 数、集合与函数2
求根公式2
基本不等式3
集合5
函数8
原象与水平集12
实数系统13
解题方法15
习题17
第2章 语言与证明23
关于方程的两个定理23
量词与逻辑语句24
复合语句28
基本证明技术31
解题方法34
习题38
第3章 归纳法44
归纳法原理44
应用50
强归纳法54
解题方法57
习题61
第4章 双射与基数66
自然数的表示66
双射69
单射与满射71
函数的复合73
基数75
解题方法78
习题80
第二部分 数的性质
第5章 组合推理86
排列与组合86
二项式系数89
置换95
函数有向图96
解题方法98
习题101
第6章 整除性106
因子与因子分解106
欧几里得算法108
飞镖板问题110
多项式的扩展知识（选学）112
习题114
第7章 模算术119
关系119
同余121
应用123
费马小定理125
同余与群（选学）127
习题128
第8章 有理数133
有理数与几何133
无理数136
毕达哥拉斯三角138
Q的进一步性质（选学）139
习题140
第三部分 离散数学
第9章 概率144
概率空间144
条件概率147
随机变量与期望150
多项式系数153
习题155
第10章 两个计数原理159
鸽笼原理159
容斥原理162
习题165
第11章 图论169
哥尼斯堡桥问题170
图的同构173
连通性与树175
二分图179
着色问题181
可平面图184
习题189
第12章 递推关系192
一般性质193
一阶递推194
二阶递推197
一般线性递推198
其他典型递推201
生成函数（选学）203
习题206
第四部分 连续数学
第13章 实数212
完备性公理212
极限与单调收敛214
十进制展开与不可数218
解题方法220
习题221
第14章 序列与级数224
序列的收敛性224
柯西序列227
无穷级数230
解题方法234
习题237
第15章 连续函数243
极限与连续性243
连续性的应用247
连续性与闭区间249
习题251
第16章 微分255
导数255
导数的应用260
牛顿法264
凸性与曲率265
函数级数269
习题274
第17章 积分280
积分的定义280
微积分基本定理287
指数与对数289
三角函数与π290
回到无穷级数293
习题295
第18章 复数300
复数的性质300
极限与收敛性302
代数基本定理304
习题305
附录A 从N到R308
附录B 部分习题提示318
附录C 推荐阅读332
附录D 符号列表334
索引336
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