【算法】算法基础

算法基本概念

算法（Algorithm）是对解题方案准确而完整的描述，是解决问题的清晰指令，代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
【算法】算法基础

引子—>算法设计步骤

求任意两个非负整数最大公约数

问题分析

主要考虑两种算法来进行问题求解

穷举法
欧几里得算法

算法策略/建立计算模型

设a>b>0，求a，b最大公约数

穷举法
$\left\{ \begin{array}{lr} r=min\{a,b\} & 初始化\\ (a\; mod\; r)\; and\; (b\; mod\; r) == 0 & 满足则r为最大公约数\\ r = r- 1 &循环 \end{array} \right.$
欧几里得算法
$\left\{ \begin{array}{lr} r=a\; mod\;b & \\ gcd(a,b) = gcd(b,r) & r\not=0\\ gcd(a,b) = b & r = 0 \end{array} \right.$
gcd(a,b)表示a，b最大公约数
注:关于欧几里得方式的证明(即为证明gcd(a,b)==gcd(b,r))：
解：设gcd(a,b) = d 且a $\div$ b = m $\cdots$ r
则有 d|a，d|b(“|”表示整除符号)，且a = b $\times$ m + r (m $\in$ $N_{+}$ )
$\therefore$ d|(b $\times$ m + r)
又 $\because$ d|b 则 d|(b $\times$ m)
$\therefore$ d|r
$\therefore$ gcd(a,b) == gcd(b,r)
老师大概是这么证明的，个人感觉还是有所欠缺，仅仅证明了d也是b,r的约数，并没有证明是最大公约数啊？
所以，加入下述证明过程（接d|r）：
设 b = $n_1$ $\times$ d,r = $n_2$ $\times$ d
只要证明gcd( $n_1$ , $n_2$ ) = 1 即可证明 gcd(b,r) = d
所以a = (m $\times$ $n_1$ + $n_2$ ) $\times$ d
下面利用反证法
若 gcd( $n_1$ , $n_2$ ) = k >1
则 $n_1$ = k $\times$ $n_1$ ’ , $n_2$ = k $\times$ $n_2$ ’
则 a = (m $\times$ $n_1$ ’ + $n_2$ ') $\times$ k $\times$ d,b = $n_2$ ' $\times$ k $\times$ d
a,b最大公约数为k $\times$ d大于d，与gcd(a,b) = d矛盾。
所以k = 1，gcd( $n_1$ , $n_2$ ) = 1
从而完整证明 gcd(a,b)==gcd(b,r)。

算法设计与描述

输入：a，b $\in$ Z
输出：a，b最大公约数
穷举法
step1：令r = min{a,b}
step2：判断是否 a mod r == 0 并且 b mod r == 0 若是转step4，否则转step3
step3：r = r - 1，转step2
step4：输出r，即为a，b最大公约数
欧几里得算法
step1：a,b = b,a(若a<b)
step2: 令 r = a mod b
step3：判断r是否为0，为0转step5，否则转step4
step4：a = b,b = r
step5：输出b，即为所求

算法分析

b = min{a,b}，规定函数f(b)为循环次数
穷举法
$f(b) = \sum_{i=1}^{b}p_i\times i \quad p_i为循环i次的概率$
若 $p_i$ = $\frac{1}{b}$ ，则有 $f$ ( $b$ ) = $\frac{b+1}{2}$
欧几里得法
直接求f(b)难以求得，此时借助斐波那契额数列进行求解，利用渐进法。
需要引入数列 $u$ 如下
$\left\{ \begin{array}{lr} u_0 = a,u_1 = b, & \\ u_k = gcb(u_{k-2},u_{k-1})\\ u_{n+1} = 0 \end{array} \right.$
显然此时 $u_k$ = $m$ $\times$ $u_{k+1}$ + $u_{k+2}$ (m>=1且m $\in$ Z)，有 $u_k$ $\geq$ $u_{k+1}$ + $u_{k+2}$
此时将数列 $u$ 与长度为n的斐波那契数列 $f$ 进行比较，如下。
显然，有 $u_{n}$ $\geq$ $f_1$ =1， $u_{n-1}$ $\geq$ $f_2$ = 1，推出 $b$ = $u_1$ $\geq$ $f_n$
又已知，斐波那契数列的通项函数为
$f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\times[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n ]$
代入b,f(b)可得
$b = \frac{1}{\sqrt{5}}\times[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{f(b)} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{f(b)} ]$
为计算方便，进行一个约算处理，当b足够大时（并非无穷大），( $\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{f(b)}$ 趋于0，忽略计算。
从而得出
$f(b) = \log_{1.618}(\sqrt5 \times b)$
此时的f(b)为最多的循环次数。
显然，欧几里得法要远远优于穷举法

算法实现 && 测试&& 结果整理与文档整理

略

从而得到算法的设计的过程为

问题分析
算法策略/建立计算模型
算法设计与描述
算法分析
算法实现
测试
结果整理与文档整理

算法描述的方法

自然语言描述
程序流程图
NS流程图
伪代码
程序设计语言

算法的递归与迭代

循环设计

设计思维
自底向上的设计核心本质：合并
自底向下的设计核心本质：分解
挖掘内在规律构建计算模型
挖掘问题内在规律，进行抽象并构建计算模型。

例子

设计算法，输出一个n $\times$ n的三角矩阵，如图所示。【算法】算法基础
问题分析

可将此两个矩阵做一个对比( $a_l$ 为左图矩阵， $a_r$ 为右图矩阵。
$a_l$ [ $i$ ][ $j$ ] = $i$ $\times$ $n$ + $j$
$a_r$ [ $i$ + $j$ ][ $j$ ] = $a_l$ [ $i$ ][ $j$ ]
计算模型
$\left\{ \begin{array}{lr} k = 1 &&初始化 \\ i = i+j &i\geq 0&第一重循环\\ j = j &j\geq 0& 第二重循环\\ a[i][j] = k++ && 赋值 \end{array} \right.$
算法设计与描述
输入：矩阵行列值n
输出：按斜行元素值为连续整数的三角矩阵
step1：输入n
step2：令i = 0，j = 0，k = 1
step3：令a[i+j][j] = k，k = k + 1
step4：j = j + 1 若 j = n - i ，则令j = 0，i = i + 1，若i<n，转step3
step5：打印出a数组。
注：没有转移说明默认执行下一条
算法分析
算法主体语句执行次数为：
$f(n) = \sum_{i = 0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i-1}1=\frac{n(n-1)}{2}$
算法实现
【算法】算法基础
测试&&结果整理与文档整理
略

递归设计

定义：一个过程或函数在定义中直接或间接调用自身的一种方法。
设计关键：找出递归关系(方程)和递归终止(边界)条件。递归关系就是使问题向边界条件转化的规则。
递归设计的步骤：

分析问题找到递归关系：找出大规模问题与小规模问题的关系，以便通过递归使问题规模变小。
设置终止条件控制递归：通过停止条件的设置，找出可解的最小规模问题。
设计函数确定数据传递方式。

例子
找出n个自然数(1,2,3,……,n)中取出r个数的所有组合。
问题分析
从n个数中取出r个数共有 $C_n$ $r$ 种取法。
下图所示n = 5，r = 3的情况。
【算法】算法基础
计算模型
$\left\{ \begin{array}{lr} f(i,r) = (1) &i=1,r=1&递归出口 \\ f(i,r) = (i,f(i-1,r-1))& n-r+1\leq i\leq n,j\leq i &递归函数 \end{array} \right.$
算法设计与描述

算法分析
主要语句执行次数为f(n)
$f(n) = \sum_{i=n}^{r}C_{i-1}^{r-1}$
算法实现
【算法】算法基础
附：迭代法算法实现

两者时间复杂度是一样的

基本数据结构

【算法】算法基础
参考：东东ppt