不同还款模式的计算与推导

分期产品不同还款模式的计算与推导

1、问题背景

在信用贷款中会提供两种不同的还款模式，一种是等额本息，一种是等额本金。

等额本息，将贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月。
这里要说明利息的计算方式是按月复利，每月按剩余本息生息。

等额本金，在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。
这里要说明利息的计算方式是按月单利，每月按剩余本金生息。

2、变量定义

变量	符号
贷款本金	P
利率IRR	R
月利率	r
期数	N

3、问题描述

已知贷款本金P，年利率R，月利率r，期数N
求两种不同还款模式的总利息，年化APR。

3.1、等额本息

由于每期还款总额固定，故设其为B，则各个月末所欠贷款为：
第一月末： $P(1+r)-B$P(1+r)−B
第二月末： $[P(1+r)-B](1+r)-B=P(1+r)^2-B[1+(1+r)]$[P(1+r)−B](1+r)−B=P(1+r)2−B[1+(1+r)]
第三个月： $[P(1+r)-B)(1+r)-B](1+r)-B =P(1+r)^3-B[1+(1+r)+(1+r)^2]$[P(1+r)−B)(1+r)−B](1+r)−B=P(1+r)3−B[1+(1+r)+(1+r)2]
由此可得，第N个月末：$P(1+r)^N-\frac{B([(1+r)^N - 1]}{r}=0$P(1+r)N−rB([(1+r)N−1]​=0
则每期还款总额为：
$B=\frac{Pr([(1+r)^N]}{(1+r)^N - 1}$B=(1+r)N−1Pr([(1+r)N]​
故总利息为：
$\frac{PNr([(1+r)^N]}{(1+r)^N - 1}-P$(1+r)N−1PNr([(1+r)N]​−P
年化APR为：
$\frac{R([(1+r)^N]}{(1+r)^N - 1}-\frac{12}{N}$(1+r)N−1R([(1+r)N]​−N12​

3.2、等额本金

由于每期还款本金固定，拆成每月本金的累加再结息，则总利息为：
$\frac{P}{N}*\frac{(1+N)N}{2}*r$NP​∗2(1+N)N​∗r
年化APR为：
$\frac{6r(1+N)}{N}$N6r(1+N)​

4、例子&归纳

例子：已知贷款本金P=10000，年利率R=18%，月利率r=1.5%，期数N=12
则$APR_{等额本息}$APR等额本息​=10.015%，则$APR_{等额本金}$APR等额本金​=9.75%
以下是随着N的变化，两种还款方式的APR的变化。
结论
1、$APR_{等额本金}$APR等额本金​随着期数N的增加，单调下降，并无限趋近于$6r$6r。
2、$APR_{等额本息}$APR等额本息​随着期数N的增加，先下降，后上升，且始终大于$APR_{等额本金}$APR等额本金​，$APR_{等额本息}(N)$APR等额本息​(N)随着R的增加，N减少。