永磁交流伺服电动机的定子磁场由定子的三相绕组的磁势( 或磁动势) 产生的，根据电动机旋转磁场理论可知，向对称的三相绕组中通以对称的三相正弦电流时，就会产生合成磁势，它是一个在空间以 ω 速度旋转的空间矢量。如果用磁势或电流空间矢量来描述等效的三相磁场、两相磁场和旋转直流磁场，并对它们进行坐标变换，就称为矢量坐标变换。Clarke变换是三相平面坐标系0ABC 向两相平面直角坐标系0αβ的转换。
1. 等幅值变换
在复平面上的矢量v总能够用互差 120 度的 abc 三轴系中的分量xa、xb、xc等效表示（a 轴与复平面的实轴重合），如下所示（ x和x0将合成矢量v）。
x =k(xa+ρxb+ ρ2xc)( 1-1 ) x0 =k0(xa+xb+xc)( 1-2 )
其中，ρ=ej32π=−21+j23、ρ2=ej34π=e−j32π=−21−j23；x0的方向与复平面的实轴方向一致。所以有（1-2）式可表示为：
x0 =k0(xa+xb+xc)( 1-3 )写出（1-1）式的实部与虚部如下：
Re{x}=k(xa−21xb−21xc)=k[xa−21(xb+xc)]( 1-4 ) Im{x}=k23(xb−xc)( 1-5 )由（1-3）式可得：
xb+xc=k0x0−xa( 1-6 ) 代入（1-6）到（1-4）式中可得：
Re{x}=k[xa−21(xb+xc)]=k[xa−21(k0x0−xa)]=23kxa−21k0kx0( 1-7 ) 等幅值变换时，规定
Re{x}=xa+x0( 1-8 )
代入（1-8）到（1-7）可得：
23kxa−21k0kx0=xa+x0( 1-9 )
对比（1-9）式两端的xa和x0的系数可解得：k=32、k0=31。
将实轴用a 轴代替，虚轴用 b 轴代替，代入k、k0到（1-3）（1-4）（1-5）得到 Clarke 变换的等幅值变换形式：
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧xα=32[xa−21(xb+xc)]=32xa−31xb−31xcxβ=32⋅23(xb−xc)=33(xb−xc)x0=31xa+31xb+31xc( 1-10 )
写为矩阵形式为：
⎣⎡xαxβx0⎦⎤=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡1021−212321−21−2321⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎡xaxbxc⎦⎤( 1-11 )
即，等幅值的Clarke变换矩阵为：
CClarke=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡1021−212321−21−2321⎦⎥⎥⎥⎥⎤
2. 等功率Clarke变换
等功率矢量坐标变换必须要遵循如下原则:
- (1) 应遵循变换前后电流所产生的旋转磁场等效；
- (2) 应遵循变换前后两系统的电动机功率不变。
将原来坐标下的电压u和电流i变换为新坐标下的u′和电流i′。我们希望它们有相同的变换矩阵C，因此有:
u=Cu′( 2-1 ) i=Ci′( 2-2 )
为了能实现逆变换，变换矩阵C必须存在逆矩阵C−1，因此变换矩阵C必须是方阵，而且其行列式的值必须不等于零。因为u=zi，z是阻抗矩阵，所以
u′=C−1u=C−1zi=C−1z Ci′= z′i′( 2-3 )
式中，z’是变换后的阻抗矩阵，而它为
z′=C−1z C( 2-4 ) 为了满足功率不变的原则，在一个坐标下的电功率iTu=u1i1+ u2i2+ … + unin应该等于另一坐标下的电功率iT′u′=u1′i1′+u2′i2′+…+un′in′，即
iTu=iT′u′( 2-5 ) 而
iTu=(Ci′)TCu′=iT′CTCu′( 2-6 )
为了使式( 2-5) 与式(2- 6) 相同，必须有
CTC = I 或 CT= C−1( 2-7 )
因此，变换矩阵 C 应该是一个正交矩阵。
在以上公式中，其中 C−1为C的逆阵;iT为i的转置矩阵; iT′为i′的转置矩阵; CT为C的转置矩阵;I为单位矩阵;z、z′分别为阻抗矩阵; u，u’，i，i’分别为电压、电流列或行矩阵; 同时,依矩阵运算法则有:C−1C=I;(Ci′)T=iT′CT;(kC)T=kCT;u=Cu′，则有u′=C−1u。
图1为定子三相电动机绕组 A、B、C 的磁势矢量和两相电动机绕组α、β的磁势矢量的空间位置关系。其中选定 A 轴与$\alpha $轴重合。根据矢量坐标变换原则，两者的磁场应该完全等效，即合成磁势矢量分别在两个坐标系坐标轴上的投影应该相等，如图 1 所示。
图 1 矢量坐标系
因此有：
{N2iα= N3iA+ N3iBcos120∘ + N3iCcos(−120∘)N2iβ= 0 + N3iBsin120∘ + N3iCsin(120∘)( 2-8 )
也即:
⎩⎪⎨⎪⎧iα=N2N3iA−21iB−21iCiβ=N2N30 +23iB23iC( 2-9 )
式中，N2、N3分别表示三相电动机和两相电动机定子每相绕组的有效匝数。式(2-9) 用矩阵表示，即
[iαiβ]=N2N3⎣⎢⎡1−21−2102323⎦⎥⎤⎣⎡iAiBiC⎦⎤( 2-10 )
转换矩阵⎣⎢⎡1−21−2102323⎦⎥⎤不是方阵，因此不能求逆阵。所以需要引进一个独立iα和iβ的新变量i0，称它为零轴电流。零轴是同时垂直于α和β轴的轴，因此形成α−β−0轴坐标系。定义:
⎩⎨⎧N2i0=k(N3iA+N3iB+N3iC)i0=N2N3k(iA+ iB+ iC)( 2-11 )
式中，k 为待定系数。所以，式(2-10 改写成:
⎣⎡iαiβi0⎦⎤=N2N3⎣⎢⎢⎢⎡10k−2123k−2123k⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎡iAiBiC⎦⎤( 2-12 ) 式中，定义矩阵 C 为:
C=N2N3⎣⎢⎢⎢⎡10k−2123k−2123k⎦⎥⎥⎥⎤( 2-13 )
其C的转置矩阵CT为:
CT=N2N3⎣⎢⎢⎢⎡1−21−2102323kkk⎦⎥⎥⎥⎤( 2-14 )
求其C的逆阵C−1为:
C−1=3N32N2⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−21−21023232k12k12k1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤( 2-15 )
为了满足功率不变变换原则，有CT= C−1。令式(2-14) 和式(2-15) 相等，则有: 3N32N2=N2N3；2k1=k
可分别求得：
N2N3=32，k=21( 2-16 )
将式(2-16) 代入式(2- 13) 和式(2- 15) ，则得:
C=32⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1021−212321−212321⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤( 2-17 )
C−1=32⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−21−2102323212121⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤( 2-18 )
因此: Clarke 变换( 或 3 /2 变换) 式为:
⎣⎡iαiβi0⎦⎤=C⎣⎡iAiBiC⎦⎤=32⎣⎡1021−212321−212321⎦⎤⎣⎡iAiBiC⎦⎤( 2-19 )
Clarke逆变换为：
⎣⎡iAiBiC⎦⎤=C−1C⎣⎡iAiBiC⎦⎤=C−1⎣⎡iαiβi0⎦⎤=32⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−21−2102323212121⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎡iαiβi0⎦⎤
3. abc−αβ−dq变换（包含Clarke变换和Park变换）
3.1恒幅值变换
（1）abc→dq0：
C=Cabc→dq0=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡cosθ−sinθ21cos(θ−32π)−sin(θ−32π)21cos(θ+32π)−sin(θ+32π)21⎦⎥⎥⎥⎥⎤
（2）abc→αβ0：
CClarke=Cabc→αβ0=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡cos0−sin021cos(−32π)−sin(−32π)21cos(+32π)−sin(+32π)21⎦⎥⎥⎥⎥⎤=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡1021−212321−21−2321⎦⎥⎥⎥⎥⎤
（3）αβ→dq：
CPark=Cαβ→dq=[cosθ−sinθsinθcosθ]
CPark−1=Cdq→αβ=[cosθsinθ−sinθcosθ]
3.2恒功率变换
（1）abc→dq0：
C=Cabc→dq0=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡cosθ−sinθ21cos(θ−32π)−sin(θ−32π)21cos(θ+32π)−sin(θ+32π)21⎦⎥⎥⎥⎥⎤
Cdq0→abc=(Cabc→dq0)−1=(Cabc→dq0)T
（2）abc→αβ0：
CClarke=Cabc→αβ0=32⎣⎢⎢⎢⎢⎡cos0−sin021cos(−32π)−sin(−32π)21cos(+32π)−sin(+32π)21⎦⎥⎥⎥⎥⎤=32⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1021−212321−21−2321⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
（3）αβ→dq：
CPark=Cαβ→dq=[cosθ−sinθsinθcosθ]
CPark−1=Cdq→αβ=[cosθsinθ−sinθcosθ]
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