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4.2 图拉普拉斯
我们引入一个重要指标：组合拉普拉斯△。 D表示对角度矩阵，其中Dii=∑jWij为节点i的度。拉普拉斯定义为△=D−W.对于能量函数满足：

E(f)=12∑ijwij(f(i)−f(j))2=fT△f

高斯随机域可以写成：

p(f)=1Ze−βfT△f

当W是对称且非负时拉普拉斯矩阵为半正定。
4.3 调和函数
最小能量函数f=argminfL=YLE(f)是调和的。它在未标记数据U上满足△f=0，等于在有标记数据L上的Yl。我们使用h表示调和函数，调和属性意味着h(i)的值在每个未标记点i上是图中其近邻的平均值：

h(i)=1Dii∑j∼iwijh(j),fori∈U

其和我们关于图的平滑度的先验是一致的。因为调和函数的最大原则，h是特殊的并满足0≤h(i)≤1fori∈U.
为了计算调和的解，我们将权重矩阵W划分成4块对于L 和U：

W=∣∣∣WLLWULWLUWUU∣∣∣

调和解△h=0 服从hL=YL由下列式子给出：

hU=(DUU−WUU)−1WULYL=−(△UU)−1△ULYL=(I−P−1UU)PULYL

最后一个等式中P = D-1W是图中的转移概率。
4.4 解读和连接
调和函数在不同的基础方式中，和不同的视角提供了一些补充技术集合来推理这个方法。
4.4.1 随机游走
在图中假设一个随机游走。从未标记节点i开始，我们移一步具有概率Pij 到节点j。当我们到达一个标记节点游走就停止。那么h(i)是随机游走的概率，从节点i开始，到达一个具有标签1的标记节点。这里标记节点可被视为“吸收边界”对于随机游走。
4.4.2 电网
我们也可以将框架视为电网。假设图中的边当做电阻具有电导系数W。节点ij之间的阻力为1/wij。我们连接正标签节点一个1伏的电压，负标签节点电压为0。那么hU 是在结果电网中的未标记节点的电压。进一步hU最小电网中能量损耗。能量损耗就是如4.1节中的E（h）.调和属性遵循Kirchoff’s 和Ohm’s 法则， 最大化原则显示了这和4.1节得到的结果是完全一样的
4.4.3 图最小分割
调和函数可被视为一个soft 版本的图最小分割。在图分割问题中去找去