11. 图--图的表示

图（Graph）

定义

• 表示“多对多”的关系
• 包含
  
  • 一组顶点：通常用V(Vertex)表示顶点集合
  • 一组边：通常用E(Edge)表示边的集合
    
    • 边是顶点对：(v,w)∈E ，其中v,w∈V
      
      • 
    • 有向边<v,w>表示从v指向w的边（单行线）
      
      • 
    • 不考虑重边和自回路
      
      • 

抽象数据定义

• 类型名称：图（Graph）
• 数据对象集：G(V,E)由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成
• 操作集：对于任意图G∈Graph，以及v∈V,e∈E
  
  • Graph Create()：建立并返回空图
  • Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：将v插入G
  • Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：将e插入G
  • void DFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G
  • void BFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发广度优先遍历图G
  • void ShortesPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：计算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离
  • void MST(Graph G)：计算图G的最小生成树
  • ….

图的表示

邻接矩阵

邻接矩阵G[N][N]：N个顶点从0到N-1编号

对于无向图的存储，怎样可以省一半空间？

• 用一个长度为N(N+1)/2的一维数组A存储{G0 0,G1 0,G1 1,...,Gn−1 0,...,Gn−1 n−1}，则Gi j在数组A中对应的下标是：(i∗(i+1)/2+j)
• 对于网络，只要把Gi j的值定义为边<vi,vj>的权重即可。（如果vi和vj之间若没有边可以用极大值来表示）

邻接矩阵的优点

• 直观、简单、好理解
• 方便检查任意一对顶点间是否存在边
• 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
• 方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）
  
  • 无向图：对应行（或列）非0元素的个数
  • 有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”

邻接矩阵的缺点

• 浪费空间：存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素
  
  • 对稠密图（特别是完全图）还是很合算
• 浪费时间：统计稀疏图中一共有多少条边

邻接表

G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非零元素

• 对于网络，结构中增加权重的域
• 一定要够稀疏才合算

邻接表的优点

• 方便找任一顶点的所有“邻接点”
• 节约稀疏图的空间
  
  • 需要N个头指针 + 2E个结点（每个结点至少2个域）
  • 那么需要 E≤N(N−1)/4 才是省空间的
• 对于无向图来说，方便计算任一顶点的“度”

邻接表的缺点

• 对于有向图来说，只能计算“出度”；计算“入度”需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）
• 不方便检查任意一对顶点间是否存在边