机器学习08-K-means算法

文章目录

• K-means算法
• 步骤
• 代价函数（失真代价函数）
• 随机初始化
• 步骤
• 如何避免局部最优

K-means算法

K-means算法是聚类问题（无监督学习）应用最广泛的算法

步骤

• K-means算法接收两个输入：

  • K：聚类出的族的个数
  • 数据集 $\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}${x(1),x(2),...,x(m)}

  此外，规定 $x^{(i)} \in \mathbb R^n$x(i)∈Rn(即去除了$x_0 = 1$x0​=1)

• 第一步：随机初始化 K 个聚类中心，记为 $\mu_1,\mu_2,...,\mu_k \in \Bbb R^n$μ1​,μ2​,...,μk​∈Rn

• 第二步：重复以下步骤，直到聚类中心不再移动

  • 族分配
    for i = 1 to m :
    compute $c^{(i)} = min_k||x^{(i)} - u_k||^2$c(i)=mink​∣∣x(i)−uk​∣∣2
    这里 小写 k 表示第 i 个聚类
    $c^{(i)}$c(i) 表示当前样本 $x^{(i)}$x(i)所属的那个族的索引或者序号
  • 移动聚类中心
    for k = 1 to k :
    计算聚类 k 的所有点的平均距离$\mu_k$μk​，将聚类中心 k 移到此处
    例如：$c^{(1)}=2,c^{(5)}=2,c^{(6)}=2,c^{(10)}=2$c(1)=2,c(5)=2,c(6)=2,c(10)=2,则
    $\mu_k = \frac{1}{4}[x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}+x^{(4)}] \in \Bbb R^n$μk​=41​[x(1)+x(2)+x(3)+x(4)]∈Rn

如果存在一个没有点的聚类中心，一般是直接去除该聚类（即从 K 变成 K-1），或者是重新初始化聚类中心，但这种情况比较少出现。

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代价函数（失真代价函数）

$J(c^{(1)},c^{(2)},...,c^{(m)},\mu_1,...,\mu_K) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m ||x^{(i)} - \mu_{c^{(i)}}||^2$J(c(1),c(2),...,c(m),μ1​,...,μK​)=m1​i=1∑m​∣∣x(i)−μc(i)​∣∣2

其中，$u_{c^{(i)}}$uc(i)​ 表示 $x^{(i)}$x(i) 所属的那个族的聚类中心。

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随机初始化

步骤

• 设置 K < 训练样本 m
• 在训练集中随机选择 K 个点
• 让 $\mu_1,\mu_2,...,u_K$μ1​,μ2​,...,uK​ 等于这 K 个样本

随机初始化值不同，K均值最后可能得到不同的结果

如何避免局部最优

随机初始化多次(一般50-1000次)，选择最小的 $J(\theta)$J(θ)

当 K 比较小时（2-10），多次随机初始化会有较大的影响，可以保证最下化畸变函数。
但是当 K 较大时，多次随机初始化结果可能会好一点点，但是不会好太多。

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