20191026CSP-S模拟

T1

踩坑警告！！！

每个点走到的概率不同（可能多种方法走到了同一个点），千万不能直接把所有可能走到的点情况列举出来然后直接根据情况数求概率
昨天T1也挂，今天T1也挂，再挂T1直接不活

首先一个基础的期望概念：
$E(x)=\sum\limits^n_{i=1}p_i*x_i$E(x)=i=1∑n​pi​∗xi​其中$p_i$pi​为概率，$x_i$xi​为得到的结果

显然，$x$x,$y$y两个坐标的变化是相互独立的，因此我们只需考虑一维即可
处理$x^2$x2,我们发现:
$E[x^2]=\frac{\sum\limits^n_{i=0}C^i_n*\sum\limits^i_{j=0}(i-2j)^2}{2^n}$E[x2]=2ni=0∑n​Cni​∗j=0∑i​(i−2j)2​
其中$2^n$2n是走$n$n步所有的情况，$\sum\limits^n_{i=0}C^i_n$i=0∑n​Cni​是走$i$i步的方案，$\sum\limits^i_{j=0}(i-2j)^2$j=0∑i​(i−2j)2是每次走得到的结果，$i-2j$i−2j相当于实际走的位移（能走了再走回来吖$QAQ$QAQ）
然后用余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 − 2abcosc$c2=a2+b2−2abcosc 可证走$n$n步后的期望就是$n$n。
或者：走到$x$x后，下一步一定是$x±1$x±1,根据期望线性性质，$E(x^2)=E((x±1)^2)=\frac{E((x+1)^2)+E((x-1)^2)}{2}=x^2+1$E(x2)=E((x±1)2)=2E((x+1)2)+E((x−1)2)​=x2+1，所以走$1$1步对期望的贡献都是$1$1，即走$n$n步后的期望就是$n$n。