（6）数据挖掘算法之PageRank

我特地把PageRank作为【十大经典数据挖掘算法】系列的收尾篇，是因为本人是Google脑残粉。因了PageRank而Google得以成立，因了Google而这个世界变得好了那么一点点。

1. 引言

PageRank是Sergey Brin与Larry Page于1998年在WWW7会议上提出来的，用来解决链接分析中网页排名的问题。在衡量一个网页的排名，直觉告诉我们：

• 当一个网页被更多网页所链接时，其排名会越靠前；
• 排名高的网页应具有更大的表决权，即当一个网页被排名高的网页所链接时，其重要性也应对应提高。

对于这两个直觉，PageRank算法所建立的模型非常简单：一个网页的排名等于所有链接到该网页的网页的加权排名之和：

                 

   

表示第 个网页的PageRank值，用以衡量每一个网页的排名；若排名越高，则其PageRank值越大。网页之间的链接关系可以表示成一个有向图 ，边 代表了网页 链接到了网页 ；   为网页 的出度，也可看作网页 

的外链数（ the number of out-links）。

假定         

为n维PageRank值向量， 为有向图 

所对应的转移矩阵，

              

 

个等式 

可改写为矩阵相乘：

        

但是，为了获得某个网页的排名，而需要知道其他网页的排名，这不就等同于“是先有鸡还是先有蛋”的问题了么？幸运的是，PageRank采用power iteration方法**了这个问题怪圈。欲知详情，请看下节分解。

2. 求解

为了对上述及以下求解过程有个直观的了解，我们先来看一个例子，网页链接关系图如下图所示：

那么，矩阵 

即为

所谓power iteration，是指先给定一个 

的初始值   

，然后通过多轮迭代求解:

       

最后收敛于     

，即差别小于某个阈值。我们发现式子 为一个特征方程（characteristic equation），并且解 是当特征值（eigenvalue）为 时的特征向量（eigenvector）。为了满足 是有解的，则矩阵 

应满足如下三个性质：

• stochastic matrix，则行至少存在一个非零值，即必须存在一个外链接（没有外链接的网页被称为dangling pages）；
• 不可约（irreducible），即矩阵 

所对应的有向图 必须是强连通的，对于任意两个节点 ，存在一个从 到 

• 的路径；
• 非周期性（aperiodic），即每个节点存在自回路。

显然，一般情况下矩阵 

这三个性质均不满足。为了满足性质stochastic matrix，可以把全为0的行替换为 ，其中 

为单位向量；同时为了满足性质不可约、非周期，需要做平滑处理：

      

其中， 

为 damping factor，常置为0与1之间的一个常数； 为单位阵。那么，式子 

被改写为

            

3. 参考资料

[1] Bing Liu and Philip S. Yu, "The Top Ten Algorithms in Data Mining" Chapter 6.