高斯滤波的窗口及标准差(笔记)

文章目录

• 高斯函数与高斯滤波
• 标准差
• 窗口大小
• OpenCV中标准差与窗口大小的换算
• Reference

高斯函数与高斯滤波

一维高斯函数：
$G(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} exp(- \frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2})$G(x)=2π​σ1​exp(−2σ2(x−μ)2​)
二维高斯函数为两个一维高斯函数的积：
$G(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} exp(- \frac{{(x-\mu_x)}^2}{2\sigma_x^2}-\frac{{(y-\mu_y)}^2}{2\sigma_y^2})$G(x,y)=2π​σ1​exp(−2σx2​(x−μx​)2​−2σy2​(y−μy​)2​)
高斯滤波即用某一尺寸的二维高斯核与图像进行卷积。高斯核是对连续高斯函数的离散近似，通常对高斯曲面进行离散采样和归一化得出(归一化指的是卷积核所有元素之和为1)，下图为标准高斯和$\sigma_x=\sigma_y=1.4$σx​=σy​=1.4大小为$5\times5$5×5的高斯核。

标准差

当$\mu=0$μ=0时，唯一需要控制的参数就是标准差$\sigma$σ，调整σ\sigma实际是在调整周围像素对当前像素的影响程度，调大σ\sigma即提高了远处像素对中心像素的影响程度，滤波结果也就越平滑。高斯曲线随σ\sigma变化的曲线如下：

从频域角度看，高斯函数的傅立叶变换仍是高斯，两者标准差间的关系如下：

$\sigma_x = \frac{1}{2\pi \sigma_w}$σx​=2πσw​1​

其中，$\sigma_x$σx​为空域高斯的标准差，$\sigma_w$σw​为对应频域高斯的标准差，在空域进行高斯平滑相当于频域低通滤波，$\sigma_x$σx​越大，$\sigma_w$σw​越小，频域高斯越集中，高频成分削弱得越多，图像越平滑。
从低通滤波角度考虑，可以对图像做傅立叶变换进行频谱分析，叠加上频域高斯并调整查看效果，找到适合的$\sigma_w$σw​，再推算出空域高斯所需的$\sigma_x$σx​。

窗口大小

标准差$\sigma$σ确定后，接下来需要确定窗口大小。上面讲了高斯核是对连续高斯的离散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函数是钟形曲线，距离中心越远数值越小，足够远处可以忽略不计，但多远算远呢？
钟型曲线在区间$(\mu - \sigma, \mu +\sigma)$(μ−σ,μ+σ)范围内的面积占曲线下总面积的$68\%$68%，$(\mu - 2\sigma, \mu +2\sigma)$(μ−2σ,μ+2σ)范围占$95\%$95%，$(\mu - 3\sigma, \mu +3\sigma)$(μ−3σ,μ+3σ)范围占$99.7\%$99.7%，一般$3\sigma$3σ外的数值已接近于0，可忽略，半径为$3\sigma$3σ即窗口大小为$6\sigma \times 6\sigma$6σ×6σ即可，通常取最近的奇数。上述3个范围在一维和二维高斯中示意如下：

OpenCV中标准差与窗口大小的换算

在OpenCV函数createGaussianFilter中，若未指定窗口大小，通过$\sigma$σ推算窗口大小方式如下，半径为$\sigma$σ的3或4倍：

若指定了窗口大小，但未指定$\sigma$σ大小，则通过窗口大小推算$\sigma$σ的方式如下：

$\sigma = 0.3\times((ksize - 1)\times0.5 - 1) + 0.8$σ=0.3×((ksize−1)×0.5−1)+0.8
$\sigma = 0.15\times ksize + 0.35$σ=0.15×ksize+0.35
$\sigma = 0.3 \times {(\frac{ksize}{2}+1) }$σ=0.3×(2ksize​+1)

具体地，在函数getGaussianKernel中，当ksize不大于7时，直接从内部的small_gaussian_tab取对应大小的高斯核，若大于7，则使用上式计算出$\sigma$σ然后套用高斯公式，最后再归一化。

Reference

如何确定高斯滤波的标准差和窗口大小