AGM算法

令$G(V,E,L_V,L_E,\varphi)$G(V,E,LV​,LE​,φ)表示一个带标签的图，其中$V$V和$E$E分别表示顶点集和边集，$L_V$LV​和$L_E$LE​分别表示顶点和边的标签集，$\varphi$φ是一个标签函数定义了$V \to L_V$V→LV​和$E \to L_E$E→LE​的映射。
FSM算法根据操作的数据不同，可以分为针对图数据库的和针对一个大图的（现在只讨论exact match方法）。
根据每个顶点标签的id对顶点进行排序，然后根据该顺序生成邻接矩阵$X_k$Xk​，$k$k表示顶点个数。邻接矩阵中每个元素表示该边标签的id。
对于
$X_k=\begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} &\cdots &x_{1,k}\\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \cdots &x_{2,k}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & \cdots &x_{3,k}\\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ x_{k,1} & x_{k,2} & x_{k,3} & \cdots &x_{k,k}\\ \end{pmatrix}$Xk​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​x1,1​x2,1​x3,1​⋮xk,1​​x1,2​x2,2​x3,2​⋮xk,2​​x1,3​x2,3​x3,3​⋮xk,3​​⋯⋯⋯⋱⋯​x1,k​x2,k​x3,k​⋮xk,k​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​
如果是无向图，则$code(X_k)=x_{1,1}x_{1,2}x_{2,2}x_{1,3}x_{2,3}x_{3,3}x_{1,4}\cdots x_{k-1,k}x_{k,k}$code(Xk​)=x1,1​x1,2​x2,2​x1,3​x2,3​x3,3​x1,4​⋯xk−1,k​xk,k​
如果是有向图，则$code(X_k)=x_{1,1}x_{1,2}x_{2,1}x_{2,2}x_{1,3}x_{3,1}x_{2,3}x_{3,2}\cdots x_{k-1,k}x_{k,k-1}x_{k,k}$code(Xk​)=x1,1​x1,2​x2,1​x2,2​x1,3​x3,1​x2,3​x3,2​⋯xk−1,k​xk,k−1​xk,k​。
对于一个子图$G_s$Gs​，定义它的支持度$sup(G_s)$sup(Gs​)为数据库中包含该子图的图的个数与总数的比值。
如果两个邻接矩阵$X_k$Xk​，$Y_k$Yk​除了第$k$k行和第$k$k列不同外，其余元素均相同，则将两个矩阵合并生成$Z_{k+1}$Zk+1​。如下所示：
$X_k = \begin{pmatrix} X_{k-1} & \boldsymbol {x_1}\\ \boldsymbol {x^T_2} & x_{kk}\\ \end{pmatrix}$Xk​=(Xk−1​x2T​​x1​xkk​​)，$Y_k = \begin{pmatrix} Y_{k-1} & \boldsymbol {y_1}\\ \boldsymbol {y^T_2} & y_{kk}\\ \end{pmatrix}$Yk​=(Yk−1​y2T​​y1​ykk​​)

$Z_{k+1} = \begin{pmatrix} X_{k-1} & \boldsymbol {x_1} & \boldsymbol {y_1}\\ \boldsymbol {x^T_2} & x_{kk}& z_{k,k+1}\\ \boldsymbol {y^T_2} &z_{k+1,k}& y_{kk}\\ \end{pmatrix}$Zk+1​=⎝⎛​Xk−1​x2T​y2T​​x1​xkk​zk+1,k​​y1​zk,k+1​ykk​​⎠⎞​，也可写成

其中，新矩阵中的元素满足下列关系：

如果是无向图，那么$z_{k+1,k}$zk+1,k​和$z_{k,k+1}$zk,k+1​相同。该合并操作可以产生多个$Z_{k+1}$Zk+1​矩阵，这是因为$v_k$vk​和$v_{k+1}$vk+1​的构成的边的label可以有多种选择，因为图数据库中不同的图中这两个点之间的边的不同，也就造成了该边的label的不同，因此$z_{k+1,k}$zk+1,k​和$z_{k,k+1}$zk,k+1​有多个选择，还有一种选择是没有边，既0。
当$X_k$Xk​和$Y_k$Yk​中的$v_k$vk​的label相同时，交换$X_k$Xk​和$Y_k$Yk​后生成的矩阵是一样的，为了避免这种情况，只有当$code(the\ first\ matrix)<=code(the\ second\ matrix)$code(the first matrix)<=code(the second matrix)时才生成矩阵，生成的矩阵也被称为normal form。只有当大小为$k+1$k+1的图$G$G的所有$k$k子图都是频繁子图时，$G$G才是频繁子图候选项。
如果通过删除一个节点得到的子图不是normal form，必须将其转换成normal form之后才能判断该子图是否已经生成过。通过以下步骤，可以将一个non-normal form 的矩阵$X_k$Xk​转换成normal form的矩阵$X'_k$Xk′​：（1）对$X_k$Xk​中的每个节点生成一个$1 \times 1$1×1的邻接矩阵；（2）对于点$v_i,v_j \in G(X_k)$vi​,vj​∈G(Xk​)，如果其邻接矩阵符合合并条件，则合并；（3）不断地合并新生成的矩阵，知道获得了一个$k \times k$k×k的矩阵$X'_k$Xk′​。该过程涉及到的是行列式的操作，因此可以表示成$X'_k=(T_k)^T X_k T_k$Xk′​=(Tk​)TXk​Tk​。
当所有候选子图生成后，需要统计每个子图的支持度。但是每个图的normal form并不是唯一的。因此需要将代表同一个子图的不同的normal form的支持度加在一起。为了索引代表同一个子图的不同normal form，定义了normal form的canonical form。定义$G$G的canonical form是$G$G的normal form中$code$code最小的。令$X^m_{k-1}$Xk−1m​表示$G(X_k)$G(Xk​)移除点$v_m$vm​后得到的图。$X^{'m}_{k-1}$Xk−1′m​表示$X^m_{k-1}$Xk−1m​经过$T^m_{k-1}$Tk−1m​变换后得到的normal form。$X^{'m}_{k-1}$Xk−1′m​经过$S^m_{k-1}$Sk−1m​变换后得到canonical form。整体过程可表示为$(T^m_{k-1}S^m_{k-1})^TX^m_{k-1}T^m_{k-1}S^m_{k-1}$(Tk−1m​Sk−1m​)TXk−1m​Tk−1m​Sk−1m​。
那么我们可以用$S^m_k$Skm​和$T^m_k$Tkm​将$X_k$Xk​转换成canonical form$X_{ck}$Xck​。而$S^m_k$Skm​和$T^m_k$Tkm​又可以通过$S^m_{k-1}$Sk−1m​和$T^m_{k-1}$Tk−1m​获得。具体过程如下所示：

寻找频繁子图时，对数据库中的每个图从1到k的构造子图，并计算每个子图的支持度。