Description
Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is
Then we can write,
For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value n, you will have to find how many integers from 1 to n have even value of σ.
Input
Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.
Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 1012).
OutputFor each case, print the case number and the result.
Sample Input
4
3
10
100
1000
Sample OutputCase 1: 1
Case 2: 5
Case 3: 83
Case 4: 947
题目扩展：
题意：
求1—n中，有多少个数的因子和是偶数。
题解：
打表找规律。
素因子分解打表计算前n项和判断奇数偶数可以发现如下规律：
只要是2^x,x^2,2*x^2...只有这种数的因子和是奇数。所以，我们直接去重即可。
但是这些直接去重我们会发现减去的这些值有重复的，所以我们要判断下。
i(代表x||a):0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ......
2^x: 1 2 4 8 16 32 64 128......
a^2:0 1 4 9 16 25 36 49 64 ......
2*a^2:0 2 8 18 32 50 72 ......
我们可以发现2^x里面有的数，x^2和2*x^2里面都有。
加下划线的字一一对应，加粗的字一一对应。
①2^x和x^2, 当x为偶数时二者出现重复。
②2^x和2*x^2，当x为奇数时，二者出现重复。
所以不需要考虑2^x的个数，直接用n减去x^2和2*x^2的个数就是我们要的结果。
易知：x^2的个数=sqrt(n)，2*x^2的个数=sqrt(n/2)。
那么为什么会是这样呢？给出推导过程：
n=p1^e1*p2^e2...,则f(n)=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1))*(p2^(e2+1)-1)/(p2-1))....
且(p1^(e1+1)-1）/(p1-1))=p1^0+p1^1......+p1^e1;
要使得f(n)为奇数，则(p1^(e1+1)-1)/(p1-1)到(pn^(en+1)-1)/(pn-1)都要为奇数;
因为奇数*奇数=奇数，奇数*偶数=偶数;
1)当p=2时，2^(e+1)-1,一定为奇数;
2)当p!=2时，则p为奇数(因为p是素因子)，则当e为偶数时(p^(e+1)-1)/(p-1)为奇数。Sn=(p^(e+1)-1)/(p-1)，相当于首项为1，公比为p的数列求和，p为奇素数，当e为偶数时，为奇数项奇数求和,结果必为奇数。
代码如下：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
int t,cc=1;
cin>>t;
while(t--)
{
ll n;
cin>>n;
printf("Case %d: %lld\n",cc++,n-(int)sqrt(n)-(int)sqrt(n/2));
}
}
转自：https://www.cnblogs.com/Ritchie/p/5299970.html