初等模型---实物交换

甲有面包若干，乙有香肠若干。二人共进午餐时希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度很难给出确切的定量关系，我们用作图的方法对双方将如何交换实物建立模型。
设交换前甲占有物品$X$X的数量为$x_0$x0​，乙占有物品$Y$Y的数量为$y_0$y0​，交换后甲占有物品$X$X和$Y$Y的数量分别为$x$x和$y$y。于是乙占有$X$X和$Y$Y的数量为$x_0-x$x0​−x和$y_0-y$y0​−y。
这样在$xOy$xOy平面直角坐标系上，长方形$0≤x≤x_0，0≤y≤y_0$0≤x≤x0​，0≤y≤y0​内任一点的坐标$(x,y)$(x,y)都代表了一种交换方案(图1)。


为得到双方满意的交换方案,将双方的无差别曲线族画在一起。图2中甲的无差别曲线族$f(x,y)=c_1$f(x,y)=c1​如图1，而乙的无差别曲线族$g(x,y) =c_2$g(x,y)=c2​原点在$O'$O′，$x，y$x，y轴均反向，于是当乙的满意度$c_2$c2​增加时无差别曲线向左下移动。这两族曲线的切点连成一条曲线AB，图中用点线表示。可以断言：双方满意的交换方案应在曲线$AB$AB上，$AB$AB称交换路径。这是因为，假设交换在$AB$AB以外的某一点$p'$p′进行，若通过p’的甲的无差别曲线与$AB$AB的交点为$p$p，甲对$p$p和$p'$p′的满意度相同，而乙对$p$p的满意度高于$p'$p′，所以双方满意的交换不可能在$p'$p′进行。

有了双方的无差别曲线，交换方案的范围可从整个长方形缩小为一条曲线$AB$AB，但仍不能确定交换究竟应在曲线$AB$AB上的哪一点进行。显然，越靠近$B$B端甲的满意度越高而乙的满意度越低，靠近$A$A端则反之。要想把交换方案确定下来，需要双方协商或者依据双方同意的某种准则，如等价交换准则。
等价交换准则是指：两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换。不妨设交换前甲占有的$x_0$x0​(物品$X$X)与乙占有的$y_0$y0​(物品$Y$Y) 具有相同的价值，$x_0$x0​，$y_0$y0​分别相应于图3中$x$x轴，$y$y轴上的$C，D$C，D两点，那么在直线$CD$CD上的点进行交换，都符合等价交换准则。最后，在等价交换准则下，双方满意的交换方案必是$CD$CD与$AB$AB的交点p。
最后，对无差别曲线呈下凸形状作如下解释：当人们占有的$x$x较小时($p_1$p1​点附近) ，他宁愿以较多的$△y$△y交换较少的$△x$△x(图4) ，而当占有的$x$x较大时($p_2$p2​点附近)，就要用较多的$△x$△x换取较少的$△y$△y。满足这种特性的曲线是下凸的。