定义11.1 设<S, ≼>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.
定义11.2设f 是含有格中元素以及符号 =,≼ ,≽ ,∨和∧的命题. 令 f*是将 f 中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题. 称 f* 为 f 的对偶命题.
格的对偶原理
设 f 是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧等的命题. 若 f 对一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真.
定理11.1 设<L, ≼>是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律, 即
(1) a,b∈L 有a∨b = b∨a, a∧b = b∧a
(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c = a∨(b∨c), (a∧b)∧c = a∧(b∧c)
(3) a∈L 有a∨a = a, a∧a = a
(4) a,b∈L 有a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a
定理11.2设L是格, 则a,b∈L有a ≼b a∧b = a a∨b = b
定理11.3设L是格, a,b,c,d∈L，若a ≼b 且 c ≼d, 则 a∧c ≼b∧d, a∨c ≼b∨d
定理11.4设<S,∗,◦>是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和◦运算适合交换律、结合律、吸收律, 则可以适当定义S中的偏序 ≼,使得 <S,≼> 构成格, 且a,b∈S 有
a∧b = a∗b, a∨b = a◦b.
定义11.3设<S, ∗, ◦ >是代数系统, ∗和◦是二元运算, 如果∗和◦满足交换律、结合律和吸收律, 则<S, ∗,◦>构成格.
定义11.4设<L,∧,∨>是格, S是L的非空子集, 若S关于L中的运算∧和∨仍构成格, 则称S是L的子格.
定义11.5设<L,∧,∨>是格, 若a,b,c∈L,有
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
则称L为分配格.
定理11.5设L是格, 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角格同构的子格.
推论 (1) 小于五元的格都是分配格.
(2) 任何一条链都是分配格.
定义11.6设L是格,
(1) 若存在a∈L使得x∈L有 a ≼x, 则称a为L的全下界
(2) 若存在b∈L使得x∈L有 x ≼b, 则称b为L的全上界
说明：
- 格L若存在全下界或全上界, 一定是惟一的.
-
一般将格L的全下界记为0, 全上界记为1.
定义11.7 设L是格,若L存在全下界和全上界, 则称L 为有界
格, 一般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.
定理11.6设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 则a∈L有
a∧0 = 0, a∨0 = a, a∧1 = a, a∨1 = 1
定义11.8设<L,∧,∨,0,1>是有界格, a∈L, 若存在b∈L 使得
a∧b = 0 和 a∨b = 1
成立, 则称b是a的补元.
-
注意：若b是a的补元, 那么a也是b的补元. a和b互为补元.
定理11.7设<L,∧,∨,0,1>是有界分配格. 若L中元素 a 存在
补元, 则存在惟一的补元.
证 假设 c 是 a 的补元, 则有a∨c = 1, a∧c = 0,
又知 b 是 a 的补元, 故a∨b = 1, a∧b = 0
从而得到 a∨c = a∨b, a∧c = a∧b, 由于L是分配格, b = c.
注意：
- 在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补.
-
对于一般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果存在补元, 可能是惟一的, 也可能是多个补元. 对于有界分配格, 如果元素存在补元, 一定是惟一的.
定义11.9设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 若L中所有元素都有补元存在, 则称L为有补格.
定义11.10如果一个格是有补分配格, 则称它为布尔格或布尔代数. 布尔代数标记为<B,∧,∨,, 0, 1>, 为求补运算.
定理11.8 设<B,∧,∨, , 0, 1>是布尔代数, 则
(1) a∈B, (a) = a .
(2) a,b∈B, (a∧b) = a∨b, (a∨b) = a∧b（德摩根律）
定义11.11 设<B, ∗,◦>是代数系统, ∗和◦是二元运算. 若∗和◦运
算满足：
(1) 交换律, 即a,b∈B有a∗b = b∗a, a◦b = b◦a
(2) 分配律, 即a,b,c∈B有∗(b◦c) = (a∗b)◦(a∗c), a◦(b∗c) = (a◦b) ∗ (a◦c)
(3) 同一律, 即存在0,1∈B, 使得a∈B有a ∗1 = a, a◦0 = a
(4) 补元律, 即a∈B, 存在 a∈B 使得 a ∗a = 0, a◦a = 1
则称 <B,∗,◦>是一个布尔代数.
定义11.12 设 L 是格, 0∈L, 若b∈L有 0 ≺b ≼a b = a, 则称 a 是 L 中的原子.
定理11.9 (有限布尔代数的表示定理)
设B是有限布尔代数, A是B的全体原子构成的集合, 则B同构于A的幂集代数P(A).
推论1任何有限布尔代数的基数为2n, n∈N.
推论2任何等势的有限布尔代数都是同构的.