本文节选自广西师大出版社《数学现场：另类世界史》！
拂晓之前，天空墨蓝深邃，一眼看不到边。海岸峭壁上的叙拉古城墙上，无数火把在闪动，浑身铠甲的武士四处奔跑，匆匆忙忙地把大小不一的石弹分门别类地堆积在城堞上。各种奇形怪状的机械已经支架在城墙上，面对着脚下的大海。乒乒乓乓的兵器撞击声、高高低低的呼喝声，到处是喧嚣和忙乱。一位清癯的老人赤足站在城头，银发银髯和雪白的亚麻长袍在海风中剧烈地抖动着。
峭壁之下惊涛拍岸，雪白的浪花腾空而起，水雾蒸腾。远处，墨一般漆黑的海面上，密密麻麻的战船正鼓着风帆，朝着叙拉古飞速逼近。
埃披库代斯（Epicydes，生卒年不详）全身披挂，气喘吁吁地跑到老人面前：“老师，罗马人越来越近了，怎么办？”
老人的目光紧紧盯着飞驰而来的战船：“准备第一套投石机。”
血红的太阳猛地跳出海面，罗马水军开始了第一轮进攻。沉重的飞石带着尖锐的呼啸砸落在城墙上、城池内。一块大石头落在城头几个战士当中，轰然一声。守军惊慌失措，开始出现混乱。指挥官拔出腰间的短剑，挥舞着，大声发出命令，战士们渐渐恢复了秩序。
老人对于周围发生的一切似乎都无动于衷，两眼一刻也不离海面的罗马舰队。终于，他向埃披库代斯挥了挥手：“启动第一套投石机。”
守城的将士早已按捺不住了，巨大的投石机把磨盘大小的石块密密麻麻投向敌船，石头砸破船帆，砸断桅杆，砸漏了甲板。有些甚至落到罗马水兵身上。工夫不大，差不多三分之一的敌船便失去了战斗能力。城头的将士忍不住大声喝起彩来。
这时，老人伸出两只手指：“第二组投石机。”
剩下的敌船已经接近城墙，进入小型投石机攻击的范围。石头小了，可是飞行速度却更快，射击密度也越发大了，冰雹一般倾泻而下，罗马士兵纷纷落水，剩下的一个个躲在盾牌后面不敢露头。
罗马共和国执政官、征讨大军统帅马克卢斯（Marcus Claudius Marcellus，约公元前268—公元前208）在流星般的飞石面前巍然挺立，铠甲闪亮，簪缨光鲜。他挥挥剑大声吼叫，八艘怪模怪样的战船随之从舰队中飞驰而出。
这八艘战船事先经过改造，每两艘为一组，各把左侧或右侧的船桨撤掉，由几块登舱板从侧面连在一起，变成一艘很宽的大船，上面安装着一种名叫Sambucae的攻城机。攻城机操纵着三四尺宽的梯子，很长，足够把另一端搭在城墙顶上。梯子的两侧装有齐胸高的防护墙，还有一个由藤条编制的护顶。四个士兵坐在防护墙里，靠近梯子的顶头。攻城时，先把梯子平放在连接两艘船的登舱板上，梯子的顶端远远伸出船头。攻城机上装有滑轮，滑轮的绳索拴住梯子顶端。划船手在盾牌的掩护下把船靠近城墙，靠近船尾的士兵抓住绳索的另一端，吆喝着三把五把就把梯子斜立起来，靠向城墙。躲在攻城机里面的士兵这时已经接近城头，一跃跳上城墙，立刻全面投入战斗。其他的士兵趁势蜂拥而上，给予援助。这种攻城机械在罗马人进攻其他希腊城池的战斗中非常有效。
可是，就在八艘船靠近城墙的时候，白衣老人已经指挥守军推出了十几部奇特的机器。一根根又粗又长的木梁远远伸出城墙，顶端挂着巨石和沙袋，每个都有几百斤重。木梁的尾端装在一种万向接头上，可以自由地转来转去。守城士兵把重物对准了攻城机，一按机关，重物就飞落而下，把其中的士兵砸得四散奔逃，不仅攻城机的梯子折断，船的甲板破碎，甚至船都被砸翻了。另外一些木梁顶端挂了铁爪，由铁链控制着，可以抓住敌人的船头。然后转动杠杆，木梁就高高抬起，把船头拉得朝天直立，悬在空中，船上的水兵惊恐万状，失声尖叫，纷纷落水。其他战船上的罗马士兵仰头看着死鱼一般挂在空中的船只，嘴巴大张，呆若木鸡。突然，铁爪张开，空中的船失重落水，不是底朝天，就是头朝下。一只只罗马战船灌满了海水，只好退出战斗。
文史花絮
阿基米德有许多独出心裁的发明。除了我们文中的武器以外，据说他还利用光学的聚光原理，用千百面铜镜把阳光聚集在罗马战船的布帆上，使战船起火。罗马军队中曾经流传一种说法：“阿基米德是神话中的百手巨人。”阿基米德没有留下任何防御武器的手稿。下图是后人想象中的阿基米德“抓船器”。
阿基米德利用杠杆原理发明了滑轮。他年轻时在埃及旅行，见到人们从尼罗河中取水，十分吃力，便发明了螺旋抽水机，如下图所示。
最早的抽水机是用青铜制造的。圆筒内部的螺旋形转片，是阿基米德发明的。这个形状后来用来制造螺丝钉和螺栓。今天，哪一台机器没有螺栓呢？
可是你知道吗？早在春秋战国时代，中国就有利用阿基米德螺线的机器了。2004年，华裔美国博士后陆述义（PeterLu，公元1978— ）在《科学》杂志上报告了他对一枚带有螺旋形凹槽的玉环的研究（右图）。这枚玉环出土于河南一座春秋楚墓，有十条纹路，每一条都满足阿基米德的极坐标螺线公式：r = ρ×θ，（r =半径，θ＝角度，ρ＝常数）。其精确程度显然不是手工能达到的。陆述义用一台旧留声机模拟再造了一个加工装置。古墓的主人死于公元前550年左右，这比阿基米德早了三百年。
这时候，城头的弓箭手们抄起老人设计的外号叫作“蝎子”的快弩，朝着峭壁下的罗马士兵发射短而尖利的铁钉。铁钉雨点般钻入敌群，没有片刻停息。罗马士兵被迫躲在盾牌后面，不敢抬头。
罗马人的攻击停止了，城头上欢声雷动。
这时，一个全副武装的甲士跑到埃披库代斯面前，上气不接下气，脸色苍白：“将军，罗马人正从东面由陆路进攻！”
埃披库代斯和老人火速奔向城东。
罗马大将军、元老院议员普尔凯尔（Appius Claudius Pulcher，生卒年不详）率领的罗马步兵推动装有轮子的巨大塔屋和能伸能缩的梯子，正在接近城门。老人和埃披库代斯来到这里，立即指挥启动投石机和石炮，猛烈的火力使敌人还没靠近城墙就遭受很大损失。顽强的罗马人不屈不挠，以惨重的代价终于推进到距离城墙一百多米的地方。这时，城墙突然张开无数楔形的箭孔，这些箭孔外面小、里面大，从中射出铺天盖地的箭雨，转眼之间罗马士兵又成片地倒下去。那些带轮子的攻城机也被巨石砸烂，如同海中的攻城机一样。还有一些罗马士兵被铁爪抓到空中，然后被重重地丢下去。
这时，老人挥手示意，守军把所有的机器全都搬了出来，大大小小各式各样的石炮、投石机同时发射，一场石块和石弹的暴雨呼啸着铺天盖地砸向敌人。声音之大、力量之巨，真是摧枯拉朽，势不可挡，罗马人难以招架，乱成一团。城头、城内，叙拉古人欢呼跳跃，大声喊着老人的名字：
“阿基米德！阿基米德！”
欢呼声震天动地，沿着辽阔的海面向四周传播出去，经久不息。
这场战争发生在公元前213年。那时，阿基米德（Archimedes，约公元前287 –公元前212）已经七十四岁了，早已从亚历山大里亚学成，回到了故乡叙拉古。
虽然阿基米德以发明奇巧的机器闻名后世，他自己对这些发明却嗤之以鼻，甚至深恶痛绝，因为这些杀人的工具同科学的目的背道而驰。关于这些发明，他没有留下任何文字，他的真正兴趣在于数学、力学和天文学。阿基米德比中国的祖冲之还要早七百年就对圆周率做了深入的研究。为了确定圆周率π，他把圆切成若干相等的三角形，利用逐渐逼近
的方法得出结论：π的数值一定是在和
之间。
≈3.14285714，
≈3.14084507，而我们今天知道，π≈3.141592654。而且，利用阿
基米德的方法，我们可以求到π的任意位小数。
找到了π，阿基米德接着寻找球体的体积公式。他的做法极其富有创造力，我们不妨仔细研究一下。请想象分别有一个圆柱、一个圆球和一个圆锥。圆柱的高和圆球的直径（d）相等，圆锥底面的直径与圆柱底面的直径相等，都是2d。阿基米德已经知道，圆柱的体积是，圆锥的体积是
。他把三个物体重叠画出来，如图10所示。现在他作一个任意的垂直于轴线AC的截面MN。由于轴对称性，他看到，只需要把图10当作平面几何来处理，然后绕着HC轴旋转就能得到三维的解。
在图10的平面上，阿基米德已经知道——
这是个简单的几何问题。（还记得双比例中项的问题吗？请想象出一个以AOC为顶点的三角形，由于圆内任何一个以圆的直径为边的三角形都是直角三角形，所以我们自然就可以推出的结论。如果你对这个问题感到困惑，请再次阅读本书的第三章。）然后，他开始利用几何知识进行下面的简单的代数运算。阿基米德是使用语言来描述他的运算结果的，以下是其运算用现代的代数符号的表达：
在等式（6a）两边同时加上，得到：
参考图10我们可以一目了然地发现：，因此这个等式也可以转化为：
现在考虑到三个物体的轴对称性，在等式（6b）两边同时乘以( AC )π，得到：
参考图10，我们可以发现，（AS）=（SQ）（我们在图10中可以找到六个三角形，并且可以证明它们彼此都是相似三角形，也都是等腰直角三角形，故此三角形ASQ的两个直角边长度相等），从图上我们还可以一眼看出 （AC）=（SM），所以（6c）就变成了：
这个式子里包含通过截面MN的球体、圆锥和圆柱的截面面积
下一步，阿基米德做了一个令后人意想不到的事情。他说，让我们假设这三个物体是用同样的材料做成的，具有同样的密度（或比重）ρ，再假设这三个截面具有同样的厚度Δ。在（6d）两侧同时乘以ρΔ，
这时，阿基米德沿着轴线AC作延长线AH，使AH=AC，于是把（6e）改写成：
因为是通过截面MN的球体、圆锥和圆柱的截面面积，把它们都乘以Δ以后就变成了厚度为Δ的三个圆盘（或非常短的圆柱体）的体积。体积乘以比重是重量（更精确地说，我们今天叫作质量）。（AH）和（AS）是距离。现在，让我们回想一下物理中的杠杆原理，式（6f）的含义是什么？
阿基米德的思路从几何跳到代数，然后又跳到物理。在他看来，（6f）对应着一个物理问题：如果把一个半径为AC、厚度为Δ的圆盘挂在C点，那它必定跟同时挂在H点的两个厚度为Δ的圆盘达到平衡。这两个圆盘的半径分别是SO和SQ。我们不妨想象一下，HC是一根杠杆，支点在A。半径为SM的圆盘悬挂在S点；在H点用一根长线，拴住半径分别是SO和SQ的圆盘的中心，一上一下，杠杆就达到平衡了。至于这两个圆盘哪个在上哪个在下，并不重要。这个问题对于阿基米德来说，太熟悉了。他曾经讲过一句非常有名的话：“给我一个支点，我就能撬动地球！”
由于点S是在线段AC上的任意一点，所以式（6f）对线段AC上的每一点都成立。阿基米德进一步论证说，现在我们把线段AC切割成若干相等的小段，每一段的长度是Δ。既然（6f）对每个小段（长度以S来表示）都适用，我们把所有的小段从S=0（A点）到S=d（C点）都加起来应该也适用。这个过程，我们叫作求和。对于等式（6f）中的三个圆盘来讲，求和的结果是得到圆球、圆锥和圆柱的近似体积。我们可以想象把线段AC分割成越来越多的小段来求和，直到Δ小到使求和的近似体积完全等于三个立体的真正体积。由于圆柱的对称性，求和的结果相当于把整个圆柱悬挂在线段AC的中点。于是我们得到之间的体积关系：
有了这个关系，圆球的体积就可以求出来了。不仅如此，知道了球的体积，球面的面积也可以得到。请读者自己想一想，为什么？怎么求得？
以上是阿基米德为了验证自己的结果而采取的思路。数学上更为完整的证明方法还是几何学，我们就不详细介绍了。他的切割、求和的思路包含了微分和积分思想的萌芽，这到将近两千年以后才被牛顿、莱布尼茨等人发现并发扬光大。
阿基米德的思路，至少有两点是前无古人，并且对后人的科学研究产生了深远影响的。第一，他把数学（在他的时代主要是几何学）和物理学融合起来，看到数学背后的物理学问题和物理学背后的数学问题。这种融会贯通的思维方式使他的思路极为开阔，解决问题的思路也就多起来了。第二，他是人类历史上第一位采用“思维实验”的方式来解决数学和物理问题的。所谓思维实验，就是在脑子里利用已知的物理定律来构筑一种实验。这种实验在现实中可能由于实验条件的限制而无法达到，但是在原理上完全符合物理规律，就像上面他的杠杆平衡实验。后面这一点，后来被伽利略发挥到极致。
数海拾贝
在几何学中，切线指的是一条刚刚而且仅仅触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的斜率与曲线上该点的斜率相同。莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646-1716）定义一条曲线的切线是经过曲线上两个无限接近的点的直线。这两个无限接近的点就是切点。类似地，经过曲面上一群无限接近的点的平面是曲面的切面。
阿基米德给朋友留下遗嘱，希望死后在墓碑前竖立一个自己设计的纪念碑，那是一个圆柱，里面放着一个圆球。这是他最为骄傲的发现：球体的体积是其外切圆柱（球的直径与圆柱底面的直径相等，圆柱的高等于球的直径）体积的三分之二。
阿基米德是一个名副其实的怪人，离群索居，常常在深思中忘记吃饭，忘记洗澡，忘记往身上涂油（古希腊祭祀活动的要求）。人们不得不强迫他吃饭，抬着他去洗澡或者涂油，而这时阿基米德却不停地拿着水或油在自己身上涂画几何图形，继续思索。他是一个特立独行的人，一辈子只用叙拉古的希腊土话多利克语写作，然后以书信的方式寄给朋友和同好。他和埃拉托色尼是最为要好的朋友，他的大多数文稿都是寄给这位亚历山大里亚图书馆负责人的。亚历山大里亚和雅典在当时是影响最大的城市，人们都以讲雅典话或者亚历山大里亚话为荣。阿基米德的文字就好像今天的中国人用河南或山东地方方言写文章。可是他的文章追随者极多，因为其内容丰富，才华横溢。
如果说亚历山大里亚图书馆是合作研究的开端，那么阿基米德则是独立思考的典范。他一个人在叙拉古冥思苦想，把力学问题引入几何学，采用思维实验的方式，从物理学的角度考虑几何问题的解决方法，因而被尊为“现代科学之父”。他可能非常高傲自大。据说他给亚历山大里亚的数学家们写过一封信，列举了几十条数学定理，没有任何证明的细节。他在信上说，这里面有两条定理是错的，看你们能不能找出来！
在大多数几何学家仍然迷恋于二倍立方的时候，阿基米德已经转去研究更为复杂的三次方程了。他考虑过这样一个问题：把圆球切成两部分，使它们之间的体积之比等于一个事先给定的数值（图11）。
用现代的数学语言来说，就是给定两个半球的体积比m：n，求这两个体积的高h和h′（注意h与h′之和等于圆球的直径）。经过一系列几何学的论证，阿基米德得到相当于如下的几何关系：
这里r是圆球的半径，h+h′=2r。显然，对于一个给定的半径r来说，这是一个关于h的三次方程。
怎样对这个方程求解呢？阿基米德首先把这个方程看成是下述方程的特例：
这里b是一个具有长度单位的常数，是一个具有面积单位的常数。不难看出，如果
，方程（7b）就回到了（7a）。但是（7b）仍然非常复杂。怎么办呢？阿基米德想出了一个非常聪明的办法。他看出方程（7b）里面有一个变数h和三个常数b、c、r。他说，好吧，让我找另外一个变数x，使它满足x = 2r-h。再为了使方程简单，让我用另一个常数a来替换r，使它满足a = 3r。这么一来，方程（7b）就变成了：
这比前面的两个方程看上去简单多了，不过它比二倍立方的方程（1）还是要复杂得多。这个方法我们今天常用。对于一些结构较为复杂、未知数（变量）较多的数学问题，我们经常引入一些新的变量去代换原来的变量，使得方程的结构变得简单，从而达到解决问题的目的。这种方法叫作变量代换法。
阿基米德发现，可以用两个圆锥曲线的交点来求得这个一元三次方程的解。为什么呢？
还是利用代数表述比较容易理解。如果a≠x（阿基米德感兴趣的是分割球体，h<r，x>r，这个条件是满足的），我们可以把（7c）写成：
如果把这个等式的两边分别看待，它们各自代表了一条曲线。等式左边是抛物线，右边是双曲线
。当这两条曲线的y值相等的时候，我们就回到了（7a）。所以，（7a）的意思就是在xy平面上双曲线和抛物线的交点。
阿基米德通过几何作图得到的是抛物线和双曲线（a-x）y=ab。他已经知道，如果两条曲线相切，他可以得到一个正数解；或者相交，就有两个正数解；不相切也不相交，就无解。他花了大量时间对这个方程求解。那个时代还没有所谓“变量”和未知数的概念，也没有如同等式（7a）到（7d）这类的表达方式。跟其他的希腊学者一样，阿基米德是用尺规作图的办法，完全靠着一条条直线和曲线的复杂关系一步一步艰难地进行工作的。
然而，他平静的研究生活终将伴随叙拉古城命运的改变而改变。
罗马人围困叙拉古整整两年。叙拉古城池坚固，粮储充足，看起来双方要无限期地僵持下去了，这对在外作战的罗马人很不利。这期间，马克卢斯征服了西西里的大部分地区，把北非来的迦太基人杀得节节败退。叙拉古保卫战期间，一个名叫达密普斯（Damippus，生卒年不详）的希腊人在海上被罗马人捉去，此人是被叙拉古城派出去寻求援助的。为了把他赎回来，叙拉古多次同罗马谈判，而马克卢斯也得以借此机会进出叙拉古城。经过仔细观察，他终于发现有一座塔楼附近的城墙容易翻越，而那里的守军散漫松懈。老谋深算的马克卢斯甚至估算好了城墙的高度。
阿尔忒弥斯节到了，这是6月的神圣日，叙拉古全城都在为月亮、狩猎和处女之神庆贺，流水般喝酒、疯狂举行体育比赛和狂欢，就像雅典全盛时期一样。靠着夜幕的掩护，马克卢斯不费吹灰之力就占领了塔楼。从这里，士兵们悄悄地爬上城墙，打开城门。等到叙拉古人发现情况不妙时，罗马军的号角已经在全城吹响。叙拉古人大惊失色，以为大势已去，四散逃命。其实，当时叙拉古城的各个主要关口还掌握在叙拉古人自己手里。
黎明时分，马克卢斯从城门进入叙拉古。他站在城中的制高点，俯视这座美丽而宽阔的城市，百感交集，忍不住流下泪来。他知道，几个小时以后，这座城市将要变成一片废墟。这场战役实在赢得不易，罗马将士们对攻城时受到的挫折和羞辱耿耿于怀，个个咬牙切齿，只有将这座可恶的城市烧个一干二净，才能解心头之恨。马克卢斯没有忘记阿基米德，他命令士兵去请阿基米德，要把他带到罗马去。
阿基米德正在自己所画的几何图形前深深思索。面对罗马士兵滴血的短剑，阿基米德拒绝同行。或许他正在考虑他的一元三次方程吧，又或许那只是一个借口，他不愿意到罗马去效忠那个在他眼中十分野蛮的民族。不管真正的原因是什么，罗马士兵被他的“傲慢”深深激怒，便举起短剑，插入他的胸膛。
据说，倒在血泊中前，这位远远超过时代的奇人只说了一句话：
“不要碰我的圆。”
阿基米德死在罗马士兵手里，这个事件对世界的变化具有头等的象征意义：热爱抽象科学的古希腊人被现实且实际的罗马人赶下欧洲领袖的位置。古罗马人是伟大的民族，但他们因遭到诅咒而不育（作者案：指在科学上没有成就）。他们没有增进父辈的知识，他们的成就仅限于工程上的微小技术细节。他们不是梦想家，没能为更加根本地控制自然力量提供一个新视角。没有一个罗马人由于深深陷入对数学图像的思索而丢掉性命。
A.N. 怀海德（A. N. Whitehead，公元1861—公元1947）：《数学引论》（An Introductionto Mathematics）
本文节选自广西师大出版社《数学现场：另类世界史》，作者：王雁斌
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