前言
在机器学习领域，梯度下降法作为基础优化算法，在该领域具有较多的应用，而如何理解梯度下降法是引起初学者困惑的来源之一。本文通过查阅资料，公式推导等，从个人角度描述什么是梯度下降法，如有谬误，欢迎批评指正。
向量与方向：
在生活中，我们时常提到方向一词，如去东南方向，西北方向等。
而描述方向我们通常用东南西北将我们要去的位置进行标记，而我们走去的地方就是方向。
方向在几何学中我们称之为向量，有方向的量。
而对于二维坐标系中来说我们所谓的方向就是向量指向的位置，如图的东北方向。
当图像扩充到三维坐标系中，就有了三维空间的向量，其代表空间的方向。
方向导数与梯度：
导数反应的是函数的变化率，而偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。
方向导数：
是与射线同方向的单位向量，这里的
叫做方向余弦（即射线与x轴y轴夹角的余弦值）。
该式子就是在 点沿
方向的方向导数，描述的就是沿着
方向的变化情况。
梯度：
在函数上标注一点，沿着该点偏导方向组成的向量就是梯度，也就是函数在该点的移动方向。
方向导数与梯度的关系：
图中我们假设函数是 ，射线AB为梯度方向，AC是我们移动方向，可以看到AC方向与AB方向存在一个夹角α。
方向导数与梯度的关系公式，随着角度的变化而变化：
而随着夹角的变化我们可以获得方向导数与梯度之间的关系如下：
（1）当α=0，选取方向与梯度方向相同，此时函数增加（上升）最快。
（2）当α=π，选取方向与梯度方向相反，此时函数减少（下降）最快。
（3）当α=π/2，选取方向与梯度方向正交，此时函数变化率为0。
（4）当α=任意值时，选取方向与梯度方向呈α角度，此时函数变化率如下。
由于取值在[0,1]之间，因此方向导数是小于等于梯度的。
可能有人不理解为什么沿梯度方向是最快的其他方向为什么就慢，我们可以参考物体受力问题。
只有沿着正受力方向才是最快的。
梯度下降公式推导：
通过线性回归获取最小二乘：
我们可以把 系数与值得乘积求和形式 写成 的形式
我们可以把上图写成如下函数， 一条模拟的回归曲线 与随机震荡
的求和
由于实际样本值很多，因此由中心极限定理我们可以知道 服从期望为0方差为
的正态分布。
因此我们假设其正态分布公式为：
由于 转化为
， 因此
是由
变化决定的
因此我们可以求取其最大似然估计，找出合适的 使得震荡数据落在高斯分布的中间，也就是让震荡越小。
两边取对数：
对分布函数求取最大似然估计，可以看到 影响该函数最值的其实是下面的目标函数，也就是最小二乘目标函数。
梯度下降更新系数值：
到此我们推出了最小二乘目标函数，而该函数有什么作用？
由于上文我们推断，要想求取一个合适的 使得在回归线附近的震荡最小，那么就相当于求取最小二乘目标函数的极小值。
只要我们找到了该目标函数的极小值，那么极小值对应的 就是我们要求的回归函数的系数。
所以现在我们知道我们的目的是什么了。
那么怎样求取最小值，为什么能求取最小值呢？
由于该函数的项数为2次，因此很容易得到该函数是凸函数
求取凸函数的下确界对应的值就是我们要选取的最小值。
因此求取最小值，我们对目标函数求偏导：
每一个 都是由
组成的，因此对 总体求和的求导相当于对单项求导再求和
进行求偏导，获取其梯度方向：
因此该结果就是目标函数沿着方向的变化率
这里可以这样理解
由于x已知，为了让震荡方差最小，从而优化
值，使结果
目标震荡最小。
而对目标函数求偏导就是让沿梯度上升方向变化
因此我们可以根据梯度下降得到更新值公式
值沿着梯度下降方向更新，随着迭代次数增长，最终会收敛到最优的
值使得回归函数点在直线附近震荡最小。
图解理解梯度下降：
前文中提到，偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。
下面图中描述梯度方向下降是怎样的过程：
（1）初始值
（2）迭代，至收敛。
表示在
处的负梯度方向即
，
表示学习率
可以很容易计算，函数 在A点的导数为正 ，因而函数在A点的梯度方向为正，梯度方向为
，故由梯度下降法可知，下一个迭代值
，也就是说x0向左移动一小步到了x1，同理在x1点的导数同样大于零，下一次迭代x1向左移动一小步到达x2，一直进行下去，只要每次移动的步数不是很大，我们就可以得到收敛1的解x。
同样针对函数反方向，由于是小于零的，因此梯度方向为负，负梯度方向为正，因此移动的位置是依次向右的。
以下是二维梯度下降图
由物理现象理解偏导和步长：
我们会发现x移动的长度越来越短，这是由于在步长相同的条件下，梯度越来越小
。这就相当于越靠近最小值点，梯度的值越小，同样乘以步长
，x的变化量就越小。如图可以看见grad1>grad3。
就相当于物体从斜面上的各点放置一个小球，在不同高度其力分量不同，因此单位时间（步长）其瞬时加速度不同（
），因此物体瞬时移动位移是不同的。
以上是关于梯度下降法原理的理解，后期如有新的理解，会在基础上增加内容。
本文是作者个人理解，希望讲述内容为大家提供帮助，如有理解或推导错误，忘批评指正。
参考资料：
高等数学同济版
Prof. Andrew Ng, Machine Learning, Stanford University
该作者对梯度下降理解：https://blog.csdn.net/zhulf0804/article/details/52250220