【算法百题之三十二】红黑树插入删除
大家好，我是Lampard~~
很高兴又能和大家见面了，接下来准备系列更新的是算法题，一日一练，早日升仙！
今天的探讨的问题是：实现红黑树的插入删除功能。
（一）什么是红黑树？
一语而言之，红黑树就是一颗弱平衡的二叉搜索树。二叉搜索树（BST）我知道，二叉平衡树我也知道（AVL），弱平衡的二叉搜索树是什么鬼？？
二叉搜索树的性质简单，每个结点有唯一的值，且每一个父节点的值比左子结点的值小，比右子结点的值大。
想深入了解二叉搜索树的同学可以看看这篇博客：
至于弱平衡，我们先来看看红黑树的性质：
- 节点是红色或者黑色
- 根节点是黑色
- 每个叶子的节点都是黑色的空节点（NULL）
- 每个红色节点的两个子节点都是黑色的。
- 从任意节点到其每个叶子的所有路径都包含相同的黑色节点。
关键在于第5点，从任意节点到其每个叶子的所有路径都包含相同的黑色节点。
这一点就说明若每一分支黑色结点为N的情况下，分支最短的情况出现在结点全是黑色的情况下（分支的结点总数量为N），而深度最长则出现在分支红黑相间的情况下（N<总数量<=2N）所以最长的分支不会比最短的分支长一倍，这限制了我们不能把结点们都堆在任意一支，导致头重脚轻的情况，若存在该情况则会通过旋转结点来解决。这是不是和二叉平衡树的任意分支的高度差不能超过1，否则就要旋转结点解决有异曲同工之妙？其弱平衡的特性就来自于此。这个特点让红黑树无论在增删改查的过程中都具有很高的效率，这点我们往下慢慢探讨。
对于第一次接触红黑树的同学可以看看这一篇博客，简单易懂：
（二）红黑树的插入
红黑树默认插入的都是红色结点，因为插入黑色结点会破坏每一支黑色结点数相同（性质5）的情况。对于插入操作来说我们要分三种情况讨论：
1.作为根节点插入（无父结点）
2.其父结点是黑色
3.其父节点是红色
（1）作为根节点插入（无父结点）
作为红黑树的根节点，为了符合根节点是黑色（性质2），我们只需要把该结点的红色属性改成黑色即可。
（2）其父结点是黑色
因为其父节点是黑色，那么插入红色结点既不会破坏每一支黑色结点数相同（性质5），也不会违背每个红色节点的两个子节点都是黑色的（性质4）。因此我们只需要直接与其父节点的孩子指针相连起来即可。
（3）其父节点是红色，我们要继续往下分两种情况：
- 父节点的兄弟结点为红色
- 父节点的兄弟结点为黑色或者不存在
（3-1）父节点的兄弟结点为红色
- 插入的位置是左左（父节点是祖父节点的左孩子，自己是父节点的左孩子）或者右右：我们需要把其父节点和父节点的兄弟结点变黑，而其祖父结点则变红，然后再进行判断，看祖父的父节点是不是黑色，若是结束，否则递归进行这个操作。
- 插入的位置是左右（父节点是祖父节点的左孩子，自己是父节点的右孩子）或者右左：只比上面多了一步，就是把自己和父节点的位置进行位置交换，使之变成左左或者右右的情况。
（3-2）父节点的兄弟结点为黑色或者不存在
- 插入的位置是左左（父节点是祖父节点的左孩子，自己是父节点的左孩子）或者右右：我们需要首先把父节点和祖父结点的颜色交换（因为父亲的兄弟结点是黑色，所以就没有动它），然后父节点进行右旋
- 插入的位置是左右（父节点是祖父节点的左孩子，自己是父节点的右孩子）或者右左：只比上面多了一步，就是把自己和父节点的位置进行位置交换，使之变成左左或者右右的情况。
（三）红黑树的删除
对于删除操作，我们同样三种情况进行讨论：
1.删除叶子结点
2.删除单枝结点
3.删除有左右孩子的结点
（1）删除叶子结点
A. 删除的是叶子节点且该叶子节点是红色的 ---> 无需修复，因为它不会破坏红黑树的5个特性
B. 删除的是叶子节点且该叶子节点是黑色的 ---> 很明显会破坏特性5，需要修复。
（2）删除单枝结点
C. 删除的节点（为了便于叙述我们将其称为P）下面有一个子节点 S，对于这种情况我们通过 将P和S的值交换的方式，巧妙的将删除P变为删除S，S是叶子节点，这样C这种情况就会转 换为A, B这两种情况：
C1： P为黑色，S为红色 ---> 对应 A 这种情况
C2: P为黑色或红色，S为黑色 --- > 对应 B 这种情况
（3）删除有左右孩子的结点
D. 删除的节点有两个子节点，对于这种情况，我们通过将P和它的后继节点N的值交换的方 式，将删除节点P转换为删除后继节点N，而后继节点只可能是以下两种情况：
D1: N是叶子节点 --- > 对应情况 A 或 B
D2: N有一个子节点 ---- > 对应情况 C
所以通过上面的分析我们发现，红黑树节点删除后的修复操作都可以转换为 A 或 B这两种情况，而A不需要修复，所以我们只需要研究B这种情况如何修复就行了。