IIR基本结构

文章目录

• 直接结构
• 直接I型
• 直接II型
• 级联结构

一个数字滤波器在时域常用常系数线性差分方程表示
$y(n)=\sum_{k=0}^Mb_kx(n-k) - \sum_{k=1}^N a_ky(n-k) \tag{1}$y(n)=k=0∑M​bk​x(n−k)−k=1∑N​ak​y(n−k)(1)
不难得出其系统函数为
$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}}{1+\sum_{k=1}^N a_kz^{-k}} \tag{2}$H(z)=1+∑k=1N​ak​z−k∑k=0M​bk​z−k​(2)
无限长单位冲激响应(IIR)滤波器，其具有如下特点：

1. 系统的单位抽样响应$h(n)$h(n)是无限长的
2. 从(1)中看，至少存在一个$a_k\neq 0$ak​​=0.也就是说输出到输入存在反馈,是递归结构
3. 从(2)中看,$H(z)$H(z)在有限Z平面$(0<|z|<\infty)$(0<∣z∣<∞)一定存在极点.
4. 单位冲激响应$h(n)$h(n)为实数,则所有系数$(a_k,b_k)$(ak​,bk​)均为实数

直接结构

直接I型

根据时域表达式(1)首先将$x(n-k)$x(n−k)加权作和，再实现$y(n-k)$y(n−k)的加权和,就可以实现直接I型

直接II型

将I型中时延器合并，即可得到直接II型

关于反馈网络的说明:
对于每一次$x(n)$x(n)的输入,反馈网络不同于正馈网络¹,仅运算一次输出.反馈网络的输出量将作为输入量继续影响反馈网络的输出，不断进行递归运算,直到全部反馈网络中不再产生输出量²,系统的响应才算结束.

级联结构

对系统函数表达式(2)进行因式分解，有
$H(z)=G \frac{\prod_{j=1}^m (1-\xi_i z^{-1})}{\prod_{i=1}^n (1-p_i z^{-1})}$H(z)=G∏i=1n​(1−pi​z−1)∏j=1m​(1−ξi​z−1)​
将其中的共轭零极点合并
$(1-q_k z^{-1})(1-q_k^*z^{-1})=1-(q_k+q_k^*)z^{-1}+q_k q_k^* z^{-2}$(1−qk​z−1)(1−qk∗​z−1)=1−(qk​+qk∗​)z−1+qk​qk∗​z−2
系统函数将变为一阶与二阶因式相乘的形式,那么系统函数也可以进一步写为多个有理分式连乘的形式,其中每个可用如下通式表示
$H_k(z)=\frac{1+\beta_{1k}z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2}}{1+\alpha_{1k}z^{-1}+\alpha_{2k}z^{-2}}$Hk​(z)=1+α1k​z−1+α2k​z−21+β1k​z−1+β2k​z−2​
频域相乘，时域卷积，所以滤波器的设计可以采用多个基本结构所代表的系统相连构成.

由于
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1+\beta_{1k}z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2}}{1+\alpha_{1k}z^{-1}+\alpha_{2k}z^{-2}} \tag{3}$H(z)=X(z)Y(z)​=1+α1k​z−1+α2k​z−21+β1k​z−1+β2k​z−2​(3)
对(3)进行逆Z变换，不难得出其对应网络的时域表达式
$y(n)=\sum_{k=0}^2\beta_kx(n-k)-\sum_{k=1}^2 \alpha_k y(n-k)$y(n)=k=0∑2​βk​x(n−k)−k=1∑2​αk​y(n−k)
一阶基本网络设计为

二阶基本网络设计
需要注意的是，

1. 每级相连次序不唯一很灵活，但不同连接次序会有不同误差
2. 联级网络间要有电平的放大与缩小
3. 由于网络联级，误差会逐级累积

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1. 对$x(n)$x(n)加权部分 ↩︎

2. 多次时延后$y(n-k)=0$y(n−k)=0 ↩︎