算法导论——Rabin-Karp算法求模证明（2）

算法导论——Rabin-Karp算法求模证明（2）

• 公式
• 欲证
• 证明
• 结论

上一篇算法导论——Rabin-Karp算法求模证明（1）
我们证明了Rabin-Karp算法的初始化求模部分，即接下来，我们来证明，这一部分

公式

$1.(a+b)\ mod\ p = [(a\ mod \ p)+(b\ mod \ p)] \ mod \ p$1.(a+b) mod p=[(a mod p)+(b mod p)] mod p
$2.(a*b)\ mod\ p = [(a\ mod \ p)*(b\ mod \ p)] \ mod \ p$2.(a∗b) mod p=[(a mod p)∗(b mod p)] mod p

欲证

$((ft-T_s*base^{m-1})*base+T_{s+m}) mod\ q =((ft-T_s*base^{m-1}mod\ q)*base+T_{s+m}) mod\ q$((ft−Ts​∗basem−1)∗base+Ts+m​)mod q=((ft−Ts​∗basem−1mod q)∗base+Ts+m​)mod q

证明

首先$ft<q，因为mod\ q就是把结果ft约束在q内,因此ft \ mod \ q =ft$ft<q，因为mod q就是把结果ft约束在q内,因此ft mod q=ft。根据公式1，有以下递推式成立。
$((ft-T_s*base^{m-1}mod\ q)*base+T_{s+m}) mod\ q\\= ((ft$((ft−Ts​∗basem−1mod q)∗base+Ts+m​)mod q=((ft$\ mod \ q$ mod q$-T_s*base^{m-1}mod\ q)*base+T_{s+m}) mod\ q\\= ((ft$−Ts​∗basem−1mod q)∗base+Ts+m​)mod q=((ft$\ mod \ q$ mod q$-T_s*base^{m-1}mod\ q)*base$−Ts​∗basem−1mod q)∗base$\ mod \ q$ mod q$+T_{s+m}$+Ts+m​$\ mod \ q$ mod q$) mod\ q\\= (((ft$)mod q=(((ft$\ mod \ q$ mod q$+(-T_s*base^{m-1})$+(−Ts​∗basem−1)$\ mod \ q$ mod q$)$)$\ mod \ q$ mod q$*base$∗base$\ mod \ q$ mod q$)$)$\ mod \ q$ mod q$+T_{s+m}$+Ts+m​$\ mod \ q$ mod q$) mod\ q\\=(((ft-T_s*base^{m-1})$)mod q=(((ft−Ts​∗basem−1)$\ mod \ q$ mod q$*base$∗base$\ mod \ q$ mod q$)$)$\ mod \ q$ mod q$+T_{s+m}$+Ts+m​$\ mod \ q$ mod q$) mod\ q\\= ((ft-T_s*base^{m-1})*base+T_{s+m}) mod\ q$)mod q=((ft−Ts​∗basem−1)∗base+Ts+m​)mod q

证毕。

结论

当$base =10$base=10时，算法就如下图所示