程序员的数学公式之最美公式-欧拉公式

• 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”

• 在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：
  

• 通过泰勒公式可知$e^x$ex和$sinx,conx$sinx,conx之间的联系即：
  $e^{iθ} = cosθ + isinθ$eiθ=cosθ+isinθ

• $e^{iθ}$eiθ的模长为
  $|e^{iθ}| = \sqrt{cos^2θ + sin^2θ} = 1$∣eiθ∣=cos2θ+sin2θ​=1

• 分别将$iθ$iθ设为$0, i\frac\pi2, i\pi,i\frac{3\pi}2,i2\pi$0,i2π​,iπ,i23π​,i2π，有：

$e^{0} = 1$e0=1

$e^{i\frac\pi2} = i$ei2π​=i

$e^{i\pi} = -1$eiπ=−1

$e^{i\frac{3\pi}2} = -i$ei23π​=−i

$e^{i2\pi} = 1$ei2π=1

• 由第三式可得最美公式-欧拉公式：
  $e^{i\pi} + 1= 0$eiπ+1=0