差错控制编码的检错纠错功能：
1.码重：码组中1的数目
2.码距/汉明距离：两个码组中对应位上具有不同码的码元个数。
3.检错纠错能力：某种编码能够发现或者纠正的错码的个数。
为了能够检测e个错码，要求d0≥e+1
为了能够纠正t个错码，要求d0≥2t+1
为了能够同时纠正t个错码和检测e个错码，要求d0≥t+e+1
接下来讲的编码都是差错控制编码。
几种常用的简单编码：
1.奇偶校验码：只有一位检验位，使得码组中“1”的数目为计数或者偶数
2.恒比码
3.正反码
线性分组码：
线性分组码具有封闭性，即任意两个许用码组之和（摩尔和）仍为一许用码组。因而线性分组码的最小码距d0=最小码重（除了全0码）
对于（n,k）线性分组码，其结构为k个信息码元，（n-k）个监督码元，共n个码元。这样的结构也称为系统码。（n-k）个监督码元可以指示2n-k-1个错误图样
汉明码：
上述构造线性分组码的方法构造出来的能够纠正单个错码的线性分组码称为汉明码。在线性分组码基础上，汉明码满足下列特点：
1.码长 n=2r-1
2.信息码元 k=n-r
3.监督码元 r
4.最小码距 d0=3
5.纠错能力 t=1
6.完备码 2n-k=2r
7.高效率码。编码效率 η=k/n=1-r/n
循环码：
循环码除了具有线性分组码的一般性质，还具有循环性，即循环码中任一许用码组循环移位后仍为一许用码组。
一般常用多项式讨论循环码。
循环码的性质：
1.码组A对应的码多项式T(X)，XiT(X)在模Xn+1的运算下得到的T’(X)对应的码组A’是A向左循环移位i次的结果
2.在一个循环码（n，k）的码字集对应的多项式中，最高幂次数为n-k，且其常数项不等于“0”的码多项式g(X)只有一个。这个g(X)就是生成多项式。
3.在循环码中，所有的码多项式C(X)都可以被生成多项式g(X)整除
4.次数不大于k-1次的任意多项式与生成多项式g(X)的乘积都为码多项式
5.循环码(n,k)的生成多项式g(X)是多项式Xn+1的一个因式。由此可以得到生成多项式g(X)的基本特征和判断标准（充要条件）：
1）g(X)是一个（n - k）次多项式
2）g(X)的常数项不等于0
3）g(X)是Xn+1的一个因式
要注意的是，这样只能验证是否为生成多项式，但是得到的循环码并非系统码。系统结构的循环码如下
想要得到系统码结构的循环码，生成矩阵和监督矩阵应满足：