代码核心思想参考数字信号处理(第三版) 高西全 丁美玉 编著 第四章 快速傅里叶变换
FFT主要流程图如上图所示，主要包括三层循环，最外层为级循环，即计算基2FFT每一级的蝶形运算，中间为旋转因子的循环，即该级下所有旋转因子种类，内部为该旋转因子下计算的蝶形运算。书中所讲步骤较为详细，此处不再详述。其中，值得注意的是倒序部分，若要是输出的FFT结果正序，则需要在输入的时候进行倒序，流程图如下：
以8点FFT为例，倒序如下图：
正题来了！！
那么如何进行DFT的快速实现呢，思路源于第四章的课后习题，即如何使用一次N点FFT变换得到2N点实序列的结果，具体过程如下：
至此，实现了用N点FFT变换得到2N点实序列DFT结果。
其核心思想在于将2N点实序列按奇偶分开，分别作为一个新的复数序列的实部（偶数部分）和虚部（奇数部分），然后对此进行N点FFT变换，之后利用DFT的共轭对称性，即公式（4）得到实部和虚部各自的FFT变换，然后利用公式（7）或（8）可得到完整的2N点DFT，其中值得注意的地方在于公式（4）k的取值范围为0到N-1，则Y（N-k）的共轭这个式子中，在编程时可利用Y(0)的共轭来代替Y(N)的共轭，因为编程时取不到Y(N)的值会报错。
编写对应代码后分析结果如下图所示：
左图是DFT快速实现的结果，对比右图发现结果相同，证明方法正确。
进行4096点变换以查看时间的优越性：
左图为FFT传统算法，所用时间为2.839s，右图为DFT快速实现算法，所用时间为1.789s，(时间因为有输出结果的循环语句在所以都比较长)，可见快了1s多。